帕斯卡三角形計算器：產生二項式係數

帕斯卡三角形是數學中最著名的結構之一。它是一個三角形數陣，其中每個數都等於前一行正上方兩個數之和。三角形以頂端的一個 1（第 0 行）開始，之後每一行都由相鄰兩數相加構成。第 1 行是 [1, 1]；第 2 行是 [1, 2, 1]；第 3 行是 [1, 3, 3, 1]；第 4 行是 [1, 4, 6, 4, 1]，依此類推。 三角形中的每一項都是二項式係數，記作 C(n, k) 或「n 選 k」，定義為 n! / (k! × (n−k)!)。第 n 行第 k 個位置（從 0 開始計數）的數等於 C(n, k)——也就是從 n 個元素中選出 k 個而不考慮順序的方法數。這種與組合學的連結，使帕斯卡三角形成為組合計數的精簡查表工具，也是機率論中的基礎工具。 在代數中，二項式定理指出 (a + b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ（k 從 0 到 n）。這個展開式的係數正是帕斯卡三角形第 n 行中的各項。展開 (x + 1)⁵ 會得到係數 1、5、10、10、5、1——正好是第 5 行。這使帕斯卡三角形成為多項式展開和計算二項分配機率時不可或缺的捷徑。 這個三角形還隱藏著大量驚人的規律。淺對角線相加會得到費波那契數列。各行還能給出 11 的次方：第 0 行是 1，第 1 行是 11，第 2 行是 121，第 3 行是 1331，第 4 行是 14641。曲棍球棒恆等式說明，一條對角線上的數之和等於該對角線末端下方一格的數。把奇數和偶數項分別著色，會得到稱為謝爾賓斯基三角形的分形圖案。 除了純數學之外，帕斯卡三角形還出現在機率論（二項分配和負二項分配）、組合學（格點路徑、子集、可重複組合）、數論（質數行中非邊緣項都可被行號整除）、電腦科學（組合的動態規劃演算法）以及金融數學（二項式選擇權定價模型）中。這個計算器可讓你立即產生最多 20 行，醒目標示任意指定行，並在三角形和線性顯示之間切換，讓你依需要的細節層級研究其結構。