零空間計算器 - 求矩陣核與基向量
使用高斯-喬丹消去，求任意不超過 4×4 的矩陣零空間（核），計算基向量、秩與零度。
選擇矩陣維度、填入各項數值，然後點擊計算即可得到零空間的全部基向量與矩陣的秩。
零空間計算器 - 求矩陣核與基向量
使用高斯-喬丹消去，求任意不超過 4×4 的矩陣零空間（核），計算基向量、秩與零度。
關於零空間計算器
矩陣 A 的零空間（也稱為 A 的核）是所有滿足齊次方程 Ax = 0 的向量 x 的集合。從幾何上看，它是線性轉換 A 將其映射為零向量的所有向量所組成的集合。零空間始終是定義域中的一個子空間，其維數稱為矩陣的零度。
秩-零度定理是線性代數的核心結果之一：對於一個 m × n 矩陣 A，rank(A) + nullity(A) = n。這表示秩與零度相加總是等於欄數。滿列秩矩陣（rank = n）只有平凡零空間，也就是只包含零向量。若秩小於 n，則零空間具有正維數 n − rank，且滿足 Ax = 0 的向量有無限多個。
為了計算零空間，本計算器使用高斯-喬丹消去把 A 化為簡化列階梯形（RREF）。在 RREF 中，每個非零列都有一個主元 1（pivot），且該欄其餘元素都為 0。包含主元的欄對應基本變數，其餘欄對應自由變數。對每個自由變數，可以令它為 1、其餘自由變數為 0，然後回代求出基本變數的值。得到的向量就是零空間的一個基向量。
零空間在應用數學與工程中有許多重要用途。在線性方程組中，零空間說明解的非唯一性：如果 Ax = b 有一個解 x₀，那麼通解就是 x₀ 加上零空間中的任意向量。在控制理論中，可控性矩陣的零空間可揭示不可控模態。在訊號處理裡，量測矩陣的零空間可以識別感測器陣列「看不見」的訊號。在化學中，化學計量矩陣的零空間給出反應網路中的所有守恆定律。
為了維持數值穩定性，本計算器在高斯消去過程中使用部分主元選取，並將絕對值小於 1e-10 的數視為 0。這讓演算法對課堂與工程中常見的整數或有理數矩陣都相當穩健。你可以輸入任何數字——整數、小數，或以小數表示的分數——計算器會立即回傳秩、零度以及完整的零空間基向量集合。
零空間範例
四個範例涵蓋不同的矩陣形狀與零空間維數。
| 矩陣 | 零空間基 | 說明 |
|---|---|---|
| 2×3: [[1,2,3],[4,5,6]] | v1 = [1, −2, 1] | 秩 2，零度 1。一個自由變數產生一個基向量。驗證：1·1 + 2·(−2) + 3·1 = 0，且 4·1 + 5·(−2) + 6·1 = 0。 |
| 3×3 Identity [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] | 平凡（只有零向量） | 滿秩矩陣：rank = 3，nullity = 0。Ix = 0 的唯一解是 x = 0。 |
| 3×3 rank-deficient: [[1,2,3],[2,4,6],[1,1,2]] | v1 = [−1, −1, 1] | 秩 2，零度 1。第 1 列與第 2 列線性相關（第 2 列 = 2×第 1 列）。RREF 得到主元欄 0 和 1，自由欄 2；回代得到 v = [−1, −1, 1]。 |
| 2×2 zero matrix [[0,0],[0,0]] | v1 = [1,0], v2 = [0,1] | 秩 0，零度 2。任何向量都滿足 Ax = 0，因此整個 R² 都是零空間，其標準基即為零空間基。 |
如何使用零空間計算器
- 使用尺寸按鈕選擇矩陣維度（列 × 欄）。可選範圍從 2×2 到 4×4，也包括 2×3、3×4 這樣的非方陣。
- 在網格中輸入矩陣元素。每個儲存格都可輸入任意實數，包括小數與負數。留空會觸發錯誤。
- 點擊計算零空間。結果會顯示秩、零度以及零空間的所有基向量。
- 使用載入範例按鈕可預填經典例子：一個零空間為一維的 2×3 矩陣，或一個秩虧的 3×3 矩陣。
- 點擊重設可在保留目前矩陣大小的同時清空所有儲存格；也可以切換尺寸選擇器，以不同維度重新開始。
零空間計算器常見問題
什麼是矩陣的零空間？
矩陣 A 的零空間是所有滿足 Ax 等於零向量的向量 x 的集合。它表示輸入空間中被線性轉換 A 壓縮到零的所有方向。零空間始終是一個子空間（它包含零向量，並且對加法與純量乘法封閉）。它的維數稱為零度，用來衡量 A 在轉換過程中遺失了多少資訊。
高斯-喬丹消去如何求零空間？
此演算法透過列運算把 A 轉換為簡化列階梯形（RREF）。在 RREF 中，很容易辨識主元欄與自由欄。對每個自由變數（非主元欄），令該變數為 1、其餘變數為 0，然後回代求解主元變數，就能得到一個零空間基向量。所有這類向量的張成就是整個零空間。
如果零空間是平凡的，代表什麼？
平凡零空間只包含零向量。這通常發生在矩陣具有滿列秩時——每一欄都是主元欄，且沒有自由變數。對於方程 Ax = 0，唯一解是 x = 0。若方陣的零空間平凡，則它可逆；若非方陣的零空間平凡，則對任意 b，方程 Ax = b 至多只有一個解。
什麼是秩-零度定理？
秩-零度定理指出：對於 m × n 矩陣 A，rank(A) + nullity(A) = n，其中 n 是欄數。秩是欄空間的維數（線性獨立欄的數量），零度是零空間的維數。二者互補：秩越大，零度越小，反之亦然。這個定理是理解線性映射與方程組的基礎。
非方陣也有零空間嗎？
有。只要矩陣的欄數大於秩，就一定存在非平凡零空間。對於欄數多於列數的寬矩陣（m < n），秩最多只能是 m，因此零度 ≥ n − m > 0，必然存在非平凡零空間。列數多於欄數的高矩陣，只要欄線性獨立，也可能具有平凡零空間。
為什麼基向量可能出現小數？
當矩陣含有非整數元素，或者回代過程產生分數時，零空間基向量就會出現小數分量。這在數學上完全正確——零空間是定義在實數域上的，不只是整數。任何基向量都可以乘以非零常數得到同樣有效的基向量，所以如果你更喜歡整數形式，可以把向量乘以分母的最小公倍數。