欄空間計算器 - 求矩陣基向量
透過高斯消去求出矩陣的基向量、主元欄與維度，並檢驗向量是否屬於欄空間。
選擇矩陣的列數與欄數，輸入矩陣元素，也可以額外加入一個測試向量來檢查它是否屬於欄空間。
欄空間計算器 - 求矩陣基向量
透過高斯消去求出矩陣的基向量、主元欄與維度，並檢驗向量是否屬於欄空間。
矩陣元素
可選測試向量
關於欄空間計算器
矩陣的欄空間是其各欄所有線性組合所形成的集合。從實際角度來看，它說明了矩陣乘上一個係數向量後能產生的所有向量。這個概念在所有線性代數情境中都會出現：解聯立方程、理解線性變換、描述像空間、分析秩，以及判斷某個目標向量能否由一組給定欄向量生成。欄空間計算器會把這些想法具體化，清楚顯示哪些欄真正重要，哪些欄是多餘的。
核心計算想法是高斯消去。當你對矩陣做列簡化時，會顯示主元欄：也就是化簡後出現首個非零元素的那些欄。主元位置可以指出原始矩陣中哪些欄構成欄空間的一組基。這裡有個重要細節：基向量必須取自原始矩陣，而不是轉換後的列階梯形矩陣，因為列運算會改變欄的實際數值，但它們保留了找出主元所需的線性相依關係。一旦知道主元欄，矩陣的秩就等於主元個數，而這個秩也正是欄空間的維度。
這個計算器也能處理 2 到 4 列、2 到 4 欄之間的方陣與矩形矩陣。這個範圍足以涵蓋許多課堂範例，同時介面也保持清楚好讀。輸入矩陣後，工具會計算主元欄，列出對應的基向量，並顯示化簡後的矩陣，方便你直接檢視消去結果。如果矩陣的主元少於欄數，則有些欄依賴其他欄，不需要出現在基中。
可選測試向量提供了另一層實用功能。要判斷向量 b 是否屬於 A 的欄空間，可以比較 A 的秩與增廣矩陣 [A|b] 的秩。如果秩保持不變，表示 b 與 A 中既有的欄關係一致，因此它屬於欄空間；如果秩增加，表示這個向量引入了新的獨立方向，不屬於欄空間。這個秩檢驗把「張成」的幾何概念與線性系統的代數結構連結起來。
無論你是在準備線性代數考試、檢查作業，還是想建立對張成與秩的直覺，欄空間計算器都能節省時間並減少計算錯誤。它也再次強調一個核心結論：欄空間由原矩陣的主元欄決定，而其維度正好等於秩。
欄空間計算器範例
這些範例展示主元欄如何決定基，以及可選向量測試如何利用秩的一致性來判斷。
| 輸入 | 結果 | 說明 |
|---|---|---|
| A = [[1, 0], [0, 1]] | 第 1 欄與第 2 欄為主元欄，秩為 2 | 單位矩陣有兩個線性獨立的欄，所以基正好就是原來的兩欄，欄空間就是 R²。 |
| A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [0, 1, 1]] | 第 1 欄與第 2 欄為主元欄，秩為 2 | 第 3 欄依賴前兩欄，所以它不屬於基，雖然它仍是原矩陣的一部分。 |
| A = [[1, 0], [0, 1]], b = [4, 5] | b 屬於欄空間 | 因為這個矩陣張成整個 R²，所以任何 2 維向量都可以寫成這些欄的線性組合。 |
| A = [[1, 2], [2, 4]], b = [1, 0] | b 不屬於欄空間 | 這個矩陣的秩為 1，所以它的欄空間只是在 R² 中的一條直線。向量 [1, 0] 不在那條直線上。 |
如何使用欄空間計算器
- 選擇矩陣的列數與欄數。輸入格會立即更新為你選定的大小。
- 為每個矩陣儲存格填入數值。計算器會使用高斯消去來定位主元欄並計算秩。
- 如果你要測試一個向量，請在可選測試向量欄位中為每一列輸入一個值。如果只需要基，可以留空。
- 按下「計算」即可查看主元欄、取自原矩陣的基向量、欄空間的維度以及列階梯形。
欄空間計算器常見問題
什麼是矩陣的欄空間？
欄空間是所有可以由矩陣欄向量線性組合得到的向量集合。它描述由矩陣定義的線性變換能產生的所有可能輸出向量。
為什麼基向量來自原矩陣，而不是化簡後的矩陣？
列運算會保留哪些欄線性相關，因此可以幫助你找到主元位置。但這些運算會改變欄的實際數值，所以基必須取自原矩陣中對應的主元欄。
欄空間的維度和秩一樣嗎？
是的。欄空間的維度等於主元欄的數量，而這個數量就是矩陣的秩。
向量包含判斷是怎麼做的？
計算器會把測試向量加入矩陣，並比較增廣前後的秩。如果秩沒有增加，表示該向量在欄空間中；如果秩增加，則不在欄空間中。
零矩陣會發生什麼事？
零矩陣的秩為 0，也沒有主元欄，所以沒有非零基向量可顯示。它的欄空間只包含零向量，因為任何零欄的線性組合都還是零。