克拉瑪法則計算器 - 線性方程組與行列式

克拉瑪法則是線性代數中的一個定理。當線性方程組的方程數與未知數相同且有唯一解時，它會給出解的明確公式。此法則以瑞士數學家 Gabriel Cramer 命名，他於 1750 年發表了這項結果。該法則把每個未知數的值表示為兩個行列式的比值：分子行列式由係數矩陣將對應未知數的欄替換為常數向量而得，分母則是原係數矩陣的行列式。 對於 2×2 方程組 ax + by = e、cx + dy = f，係數矩陣為 A = [[a,b],[c,d]]，行列式 D = ad − bc。若 D ≠ 0，唯一解為 x = (ed − bf)/D、y = (af − ce)/D。對於 3×3 方程組，必須計算四個行列式——一個是係數矩陣的行列式，另外三個則分別對應各變數替換後的矩陣。 D ≠ 0 這項要求非常重要。當 D = 0 時，係數矩陣是奇異矩陣，表示方程組可能無解（方程互相矛盾），也可能有無限多解（方程有冗餘）。克拉瑪法則無法判定是哪一種情況——對於奇異方程組，你必須使用高斯消去法或列簡化等其他方法。 即使克拉瑪法則不是最有效率的計算方法，它仍具備重要的理論性質。它為每個變數提供明確的閉式表示，這在符號代數、敏感度分析與證明中很有用。例如，當所有係數與常數都是整數時，該法則保證每個解的分子與分母也都是整數——因此有理輸入一定會產生有理解。這種保持有理性的特性常用於精確算術計算。 從計算角度來看，克拉瑪法則很適合 2×2 和 3×3 方程組，因為行列式計算很快。對於更大的方程組，高斯消去法有效率得多（O(n³)，相較於樸素行列式展開的 O(n!)），但對本計算器處理的小型方程組而言，克拉瑪法則能清楚呈現逐步求解過程。結果面板列出的行列式值可讓你獨立驗證每一步。