矩陣加減計算器
立即對兩個相同維度的矩陣進行加法或減法——線性代數、工程與資料科學的必備工具。
選擇運算方式，使用分號輸入列、逗號輸入欄，然後按下計算。
矩陣加減計算器
立即對兩個相同維度的矩陣進行加法或減法——線性代數、工程與資料科學的必備工具。
以分號（;）分隔各列，以逗號（,）分隔各欄。範例：1,2;3,4 代表一個 2×2 矩陣。
關於矩陣加減計算器
矩陣加法與減法是線性代數中最基本的運算之一。和乘法不同，這些運算很直接：只要把兩個同維度矩陣中對應位置的元素合併即可。維度必須完全一致這一點非常嚴格——即使兩個矩陣都各有六個元素，你也不能把一個 2×3 矩陣和一個 3×2 矩陣相加。
要將矩陣 A 和 B 相加，需要計算一個新矩陣 C，其中每個元素 C[i][j] 都等於 A[i][j] + B[i][j]。減法的做法完全相同，只是把加號換成減號：C[i][j] = A[i][j] − B[i][j]。這兩種運算都是逐元素進行的，也就是說結果中每個位置只取決於輸入中對應的位置，而不受其他列或欄影響。
矩陣加法滿足交換律（A + B = B + A）與結合律（(A + B) + C = A + (B + C)），這些性質直接來自實數加法的交換律與結合律。不過，減法不具交換律：一般而言 A − B ≠ B − A。
零矩陣——也就是尺寸相同且所有元素都為零的矩陣——扮演加法單位元的角色。任何矩陣與零矩陣相加都會回到原矩陣：A + 0 = A。每個矩陣也都有加法反元素，也就是把所有元素都取相反數得到的矩陣。矩陣與其反元素相加，總會得到零矩陣。
在實際應用中，矩陣加法與減法廣泛出現在科學與工程領域。在影像處理中，把兩個影像矩陣相加可以合成像素強度，常用於影像融合。在物理學中，以矩陣形式相加位移或力向量，有助於簡化涉及多個疊加場的計算。在經濟學中，投入產出表常透過把變化矩陣加到既有表格上來更新。在機器學習中，神經網路裡的偏置相加，本質上就是把偏置矩陣加到激活矩陣上。
對學生來說，熟悉矩陣加法能建立理解更複雜運算所需的直覺，例如矩陣乘法、特徵值分解以及解線性方程組。加法的逐元素特性也讓它很容易用手算驗證，在處理更大規模問題時可作為可靠的檢查方式。這個計算器可處理任何一致維度的矩陣，並以雙精度浮點數進行所有運算，以便在廣泛數值範圍內保持準確性。
矩陣加減範例
三個演算範例，示範常見矩陣類型的加法與減法。
| 輸入 | 結果 | 備註 |
|---|---|---|
| A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]] — 加法 | [[6,8],[10,12]] | A 的每個元素都加上 B 中對應的元素。C[1][1]=1+5=6，C[1][2]=2+6=8，依此類推。 |
| A = [[5,6],[7,8]], B = [[1,2],[3,4]] — 減法 | [[4,4],[4,4]] | A 的每個元素都減去 B 中對應的元素。C[1][1]=5−1=4，其餘位置同理。 |
| A = [[0,1,2],[3,4,5]], B = [[6,5,4],[3,2,1]] — 加法 | [[6,6,6],[6,6,6]] | 這是一個 2×3 的範例。每一對元素相加都等於 6，形成一個數值一致的結果矩陣。 |
| A = [[2,−1],[0,3]], B = [[−2,1],[0,−3]] — 加法 | [[0,0],[0,0]] | B 是 A 的加法反元素。它們的和是 2×2 零矩陣，說明 A + (−A) = 0。 |
如何使用矩陣加減計算器
- 點選計算器上方對應的按鈕，選擇運算方式——加法或減法。
- 在第一個欄位中輸入矩陣 A。欄內用逗號分隔數值，列與列之間用分號分隔。例如，輸入 1,2;3,4 可表示 2×2 矩陣 [[1,2],[3,4]]。
- 用相同格式在第二個欄位中輸入矩陣 B。兩個矩陣必須具有相同的列數與欄數。
- 點選計算。結果矩陣會顯示在下方，其中每個元素都由輸入矩陣中對應位置的元素計算而得。
- 點選重設可清空兩個欄位並開始新的計算，或切換運算按鈕在加法與減法之間切換。
常見問題
兩個矩陣一定要同大小嗎？
是的。只有當兩個矩陣的維度完全相同——也就是列數和欄數都相同——時，才能進行矩陣加法或減法。如果維度不同，運算未定義，計算器會顯示錯誤。
矩陣加法具交換律嗎？
是的。對任意兩個同尺寸矩陣 A 和 B，都有 A + B = B + A。這直接來自普通數字加法的交換律，並逐元素套用到每個位置。減法不具交換律：一般而言 A − B ≠ B − A。
要如何在這個計算器中輸入 3×3 矩陣？
每一列用分號分隔，每一列中的元素用逗號分隔。對於 3×3 矩陣 [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]，請輸入 1,2,3;4,5,6;7,8,9。任何尺寸的矩陣都適用相同格式。
矩陣的加法反元素是什麼？
矩陣 A 的加法反元素是 −A，也就是把每個元素都取相反數得到的矩陣。將一個矩陣與其加法反元素相加，結果就是同維度的零矩陣。例如，[[1,2],[3,4]] + [[−1,−2],[−3,−4]] = [[0,0],[0,0]]。
我可以輸入小數或負數矩陣嗎？
可以。計算器接受任何實數，包括小數（例如 3.14）和負數（例如 −5）。輸入負數時，請在數字前加上減號。所有運算都以雙精度浮點數執行，能在廣泛數值範圍內保持準確結果。
哪些真實世界問題會用到矩陣加法？
矩陣加法常見於影像融合（把像素矩陣相加）、物理學（疊加場向量）、經濟學（更新投入產出表）和機器學習（向激活矩陣加入偏置項）。任何需要把兩組同結構資料逐元素合併的情境，都可以用矩陣加法來表示。