矩陣行列式計算器

使用這款免費線上線性代數工具，立即計算任意方陣的行列式：2×2、3×3、4×4 或更大矩陣。

用分號分隔列、用逗號分隔欄輸入方陣，然後按一下「計算」即可得到行列式。

矩陣行列式計算器
使用這款免費線上線性代數工具，立即計算任意方陣的行列式：2×2、3×3、4×4 或更大矩陣。

用分號 (;) 分隔列，用逗號 (,) 分隔欄。矩陣必須是方陣（列數和欄數相同）。

關於矩陣行列式計算器

行列式是可由任意方陣計算出的單一純量值，用來概括該矩陣的重要代數性質。它是線性代數中最重要的量之一，出現在方程組理論、特徵值、反矩陣、微積分中的變數變換公式，以及物理與工程的許多領域。 對於 2×2 矩陣 [[a, b],[c, d]]，行列式定義為 ad − bc。此公式給出矩陣兩個列向量所形成平行四邊形的有向面積。對於 3×3 矩陣，行列式可沿任意一列或一欄進行餘因子展開，將問題展開為三個 2×2 行列式，並依所選列或欄中的元素加權且符號交替。 對於更大的矩陣，最高效的精確方法是高斯消去法（LU 分解）。你可透過一系列列運算將矩陣化為上三角形式，同時記錄任何列交換（每次交換都會改變行列式符號）。上三角矩陣的行列式就是對角線元素的乘積，因此將這些對角值相乘並套用累積的符號因子即可。 行列式的符號與大小包含豐富資訊。正行列式表示矩陣所代表的變換保持方向；負行列式表示它反轉方向（例如反射）。行列式的絕對值等於矩陣縮放體積的比例因子：行列式為 5 表示體積放大 5 倍，而行列式為 0.5 表示體積壓縮為一半。 零行列式特別重要：它表示矩陣是奇異的，列（或欄）線性相依，變換會把空間壓縮到較低維子空間，而且矩陣沒有反矩陣。在線性方程組 Ax = b 中，A 的行列式為零表示方程組無解或有無限多解，取決於 b 是否位於 A 的像空間中。 本計算器使用帶部分樞紐選擇的高斯消去法以提升穩定性，可正確處理任意大小的矩陣。結果會四捨五入到十位有效數字，以消除浮點雜訊，同時保留實用計算所需的精度。

矩陣行列式範例

四個從 2×2 到 4×4 的範例，展示包含零行列式與負行列式在內的不同結果。

矩陣行列式說明
[[1,2],[3,4]]−2det = 1×4 − 2×3 = 4 − 6 = −2。非零，因此矩陣可逆。
[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]0第三列等於 2×（第二列）− 第一列，因此各列線性相依。行列式為零，矩陣是奇異矩陣。
[[2,−1,0],[−1,2,−1],[0,−1,2]]4這是一個三對角矩陣。det = 4。非零行列式確認它可逆；它常出現在離散化的一維邊界值問題中。
[[1,0,0,0],[0,2,0,0],[0,0,3,0],[0,0,0,4]]24一個 4×4 對角矩陣。行列式是對角線元素的乘積：1×2×3×4 = 24。

如何使用矩陣行列式計算器

  1. 在「矩陣」欄位中輸入方陣。用逗號分隔同一列中的元素，用分號分隔列。例如，輸入 1,2;3,4 表示 2×2 矩陣 [[1,2],[3,4]]。
  2. 確認矩陣的列數和欄數相同；行列式只對方陣有定義。
  3. 按一下「計算」。行列式會以單一數字顯示在下方，並附上指出矩陣是否可逆的說明。
  4. 查看說明：零行列式表示矩陣奇異且沒有反矩陣；非零行列式表示矩陣可逆。
  5. 按一下「重設」清除輸入，並以新矩陣重新開始。

常見問題

什麼是矩陣的行列式？
行列式是由方陣計算出的純量值，編碼了矩陣的重要性質。它等於由矩陣的列（或欄）形成的平行多面體的有向體積。非零行列式表示矩陣可逆；零行列式表示矩陣奇異。
3×3 矩陣的行列式如何計算？
對於 3×3 矩陣，行列式可用餘因子展開求得。選擇任意一列或一欄，對每個元素，將其乘以刪除該元素所在列和欄後得到的 2×2 子矩陣行列式，並依餘因子符號模式（+、−、+）交替改變符號。這三個乘積的和就是行列式。
行列式為零代表什麼？
行列式為零表示矩陣是奇異矩陣：它沒有反矩陣，列（或欄）線性相依，而且以此矩陣為係數矩陣的方程組不是無解，就是有無限多解。從幾何上看，此矩陣會把空間壓縮到較低維子空間。
行列式可以是負數嗎？
可以。負行列式表示矩陣變換會反轉方向，例如包含反射。行列式的絕對值仍然給出體積的縮放因子。例如，行列式為 −3 表示矩陣反轉方向並將體積縮放 3 倍。
列運算會影響行列式嗎？
會，但影響方式可預測。交換兩列會改變行列式的符號。將某一列乘以純量 k 會使行列式乘以 k。把一列的倍數加到另一列不會改變行列式。這些規則是用高斯消去法高效計算行列式的基礎。
這個計算器支援哪些矩陣大小？
本計算器支援任意大小的方陣：2×2、3×3、4×4 以及更大矩陣。對於小矩陣（最大 4×4），使用直接公式精確計算結果；對於更大的矩陣，使用帶部分樞紐選擇的高斯消去法，對典型實際輸入穩定且準確。