距離公式計算器：二維和三維距離

距離公式是座標幾何中最常用的結果之一。它可以給出平面或空間中任意兩點之間的直線距離，也就是歐幾里得距離。在二維中，公式為 d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)；在三維中則延伸為 d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)。這兩個公式都是畢氏定理的直接應用：水平、垂直以及深度差構成直角三角形的直角邊，而兩點之間的距離就是斜邊。 二維公式貫穿於基礎座標幾何中。只要你需要求連接兩個已知點的線段長度——三角形的一條邊、已知圓心和圓上一點時的半徑、地圖上兩座城市之間的距離——距離公式都能一次算出答案。三維版本在立體幾何、電腦繪圖、機器人和物理中同樣重要，因為空間中的位置通常表示為三元組 (x, y, z)。 一個很有用的特殊情況是點到原點的距離。令 (x₁, y₁) = (0, 0) 時，二維公式可化簡為 d = √(x₂² + y₂²)，這也是向量 (x₂, y₂) 的模（長度）公式。距離與向量模之間的這種關聯是線性代數的核心：向量的歐幾里得範數就是向量終點到原點的距離。 電腦科學和資料科學高度依賴歐幾里得距離。在機器學習中，k 近鄰演算法會根據資料點到帶標籤樣本的距離來分類。在 k-means 等分群演算法中，點會被分配到歐幾里得距離最近的群中心。在影像處理中，像素色彩值之間的歐幾里得距離可用來衡量色彩相似度。在電腦圖學中，距離計算支撐著碰撞偵測、光線追蹤和著色模型。 對於非常大或非常小的座標，計算器使用標準浮點運算，結果至少精確到十個有效數字。該公式具有對稱性——交換兩個點會得到相同的距離——所以輸入順序並不重要。輸入 2D 或 3D 中任意兩個點，距離公式計算器都會回傳精確的歐幾里得距離，並同時顯示公式，方便你逐步核對計算過程。