和差三角恆等式計算器
使用角度加法與減法公式計算精確三角函數值。
選擇三角函數和運算，輸入兩個角度，即可取得精確結果並查看所用公式。
和差三角恆等式計算器
使用角度加法與減法公式計算精確三角函數值。
關於和差三角恆等式
和差恆等式，也稱為角加法與角減法公式，是一組三角方程，可用個別角的三角函數來表示兩角之和或之差的三角函數。它們能把 75° 或 15° 這樣的角拆成你已知三角函數值的角（例如 30°、45° 和 60°），因此不用計算器也能精確求出 sin、cos 或 tan。
六個核心公式為：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)；sin(A − B) = sin(A)cos(B) − cos(A)sin(B)；cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B)；cos(A − B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)；tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 − tan(A)tan(B))；以及 tan(A − B) = (tan(A) − tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))。這些恆等式是精確的，不包含近似；可透過單位圓或幾何論證加以證明。
計算器接受角度與弧度兩種輸入。使用角度時，輸入 30、45 或 90 這類值。使用弧度時，可輸入十進位近似值（例如 π/6 的 0.5236）或精確小數值。單位選擇很重要，因為同一個數字若代表角度或弧度，三角函數會計算出不同的值。
在物理學中，這些恆等式對分析波的疊加不可或缺。當兩個頻率相同但相位不同的波結合時，合成波的振幅可直接由和差公式決定。在電機工程中，交流電路中電壓與電流之間的相位關係也受相同數學支配。電腦圖學使用它們在 2D 與 3D 空間中旋轉點和向量；旋轉矩陣完全由旋轉角的餘弦與正弦構成。
在數學中，和差恆等式是推導許多其他三角關係的入口：倍角公式、半角公式與積化和差公式都可直接由這六個恆等式推出。熟練掌握它們，可為微積分、傅立葉分析、訊號處理，以及任何依賴週期函數的領域奠定基礎。
和差三角恆等式範例
透過實例展示如何將恆等式套用到常見角。
| 輸入 | 結果 | 說明 |
|---|---|---|
| sin(45° + 30°) | sin(75°) ≈ 0.9659 | sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4。 |
| cos(60° − 45°) | cos(15°) ≈ 0.9659 | cos(60°)cos(45°) + sin(60°)sin(45°) = (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = (√2+√6)/4。 |
| 弧度制下的 tan(π/6 + π/4) | tan(5π/12) ≈ 3.7321 | (tan(π/6)+tan(π/4))/(1−tan(π/6)tan(π/4)) = (1/√3+1)/(1−1/√3)，化簡即可。 |
| sin(120° − (−30°)) | sin(150°) = 0.5 | 負角 B：sin(150°) = sin(90°+60°) = 0.5。展示對負角的正確處理。 |
如何使用和差三角恆等式計算器
- 從第一個下拉選單選擇三角函數（正弦、餘弦或正切）。
- 從第二個下拉選單選擇運算：和 (A + B) 或差 (A − B)。
- 在對應欄位輸入角 A 和角 B。
- 選擇符合輸入的角度單位（角度或弧度）。
- 點擊「計算」，查看數值結果以及套用的特定恆等式公式。
和差三角恆等式常見問題
和差恆等式有哪些用途？
它們能計算由標準角（如 30°、45°、60°）組合而成角度的精確三角函數值，也是許多其他三角恆等式的基礎。在應用領域中，它們用於物理的波分析、工程中的交流電路相位計算，以及電腦圖學中的旋轉。
什麼時候該用角度，什麼時候該用弧度？
日常幾何、導航問題，以及使用角度表或量角器時可用角度。微積分、物理和工程中通常使用弧度，因為公式中的自然角度單位是弧度。計算器會使用你選擇的單位；請確認角 A 和角 B 使用相同單位。
這些公式中，正切和正弦、餘弦有何不同？
正切的和差公式包含分母 (1 ∓ tan(A)tan(B))，分母可能為零，使正切在這些角度組合下未定義。計算器會偵測這種情況並顯示錯誤。正弦與餘弦的和差公式沒有此限制，適用於所有實數角。
如何用這些恆等式求 sin(75°)？
寫成 75° = 45° + 30°，再套用 sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)。代入可得：sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4 ≈ 0.9659。在計算器中輸入 Function=sin、Operation=Sum、A=45、B=30 即可驗證。
這些恆等式可用於負角嗎？
可以。恆等式對所有實數角都成立，無論正負。例如，當 B 為負數時，sin(A − B) 等同於 sin(A + |B|)。計算器接受角度欄位中的負值，並會正確套用公式。
結果是精確值還是近似值？
數值結果是浮點近似值，約有 15 位有效數字。公式本身是精確的數學恆等式，例如 sin(75°) = (√6+√2)/4 是精確值；但計算器會顯示方便實際使用的十進位等值。