Gram-Schmidt 正交化計算器

Gram-Schmidt 程序是線性代數中最重要的演算法之一。給定一組線性獨立向量，它會系統性地產生一組彼此正交、且張成相同子空間的新向量。若再將每個正交向量除以其長度，使其成為單位向量，得到的結果就稱為正交規一基底。正交規一基底被視為線性代數中的黃金標準，因為它幾乎能簡化所有涉及投影、旋轉、鏡射與分解的計算。 此演算法以歸納方式進行。第一個輸出向量就是第一個輸入向量，保持不變。第二個輸出向量是第二個輸入向量減去其在第一個輸出向量上的投影，這樣第二個輸出就會垂直於第一個。第三個輸出向量則是第三個輸入向量減去其在前兩個輸出向量上的投影。一般而言，第 k 個輸出向量等於第 k 個輸入向量減去它對所有前面輸出向量投影的總和。向量 v 投影到已正交化向量 u 上的公式為 (v·u / u·u) × u，其中 · 表示內積。 如果在這個過程中，扣除所有投影後的結果是零向量，表示該輸入向量與前面的向量線性相依，應直接捨棄。計算器會自動處理這種情況，並回報輸入集合的秩，也就是實際上線性獨立的向量數量。實務上，還會使用一個較小的數值閾值來捕捉因浮點四捨五入而接近零的向量。 正交規一基底的取得方式，是將每個正交輸出向量除以其歐幾里得範數（也就是它與自身內積的平方根）。這樣得到的一組向量長度都恰為 1，且彼此互相垂直。這組正交規一向量構成原始輸入所張成子空間的正交規一框架。 Gram-Schmidt 程序的應用幾乎遍及所有定量領域。在數值線性代數中，它是 QR 分解的基礎，而 QR 分解常用於求解最小平方問題與計算特徵值。在訊號處理中，它用來建構正交濾波器組並分離獨立的訊號分量。在量子力學中，量子系統的狀態空間是希爾伯特空間，而物理可觀測量對應於特徵向量的正交規一基底。在統計學與機器學習中，主成分分析（PCA）可理解為尋找一個與資料集中最大變異方向對齊的正交規一基底。在電腦圖學中，建立相機或物件座標系需要三個彼此垂直的單位向量，而 Gram-Schmidt 正好能自然完成這項工作。 這個計算器接受任意維度的向量，能妥善處理線性相依輸入，並將中間的正交向量與最後的正交規一向量並排顯示，讓你清楚看到整個轉換過程。