根式計算器 - 化簡平方根、立方根和 n 次根
化簡任何根式——平方根、立方根和 n 次根——透過提取完全冪因子，立即得到化簡結果。
輸入被開方數（根號裡的數）和指數（根的次數），再點擊「化簡根式」查看化簡後的形式。
根式計算器 - 化簡平方根、立方根和 n 次根
化簡任何根式——平方根、立方根和 n 次根——透過提取完全冪因子，立即得到化簡結果。
關於根式計算器
根式表達式由根號（√）、被開方數（根號下的數）以及可選的指數組成。指數寫在根號左上角，用來表示根的次數。平方根是最常見的根式，預設指數為 2。立方根的指數是 3，四次根是 4，以此類推。通用記法 ⁿ√a 表示 a 的 n 次根，也就是滿足 bⁿ = a 的數 b。
化簡根式，就是把根號內不再包含完全 n 次冪的因子。其核心是根式的乘積法則：ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b。化簡 ⁿ√a 時，要把 a 分解成一個完全 n 次冪與剩餘因子的乘積。例如化簡 √50，可寫成 50 = 25 × 2 = 5² × 2，所以 √50 = √(5²) · √2 = 5√2。
更高次的根也遵循同樣原理，只是要找完全 n 次冪因子。比如化簡 ∛54：54 = 27 × 2 = 3³ × 2，所以 ∛54 = ∛(3³) · ∛2 = 3∛2。對於五次根，⁵√96 = ⁵√(32 × 3) = ⁵√(2⁵ × 3) = 2·⁵√3。
這個根式計算器會自動完成因式分解。它會找出被開方數中最大的完全 n 次冪因子，並把它的 n 次根提取為係數，剩下的部分保留在根號內。如果被開方數本身就是完全 n 次冪，結果就會變成不含根號的整數。
在代數中，根式化簡非常重要，因為化簡後的形式更容易比較、合併與進一步計算。只有當根號內剩餘的部分相同，像 3√2 + 5√2 = 8√2 這樣的合併才成立，所以必須先化簡，才能判斷哪些項可以相加。在幾何中，根式也隨處可見：單位正方形的對角線是 √2，邊長為 a 的等邊三角形高是 (a√3)/2，而黃金比例中也會出現 √5。因此，掌握根式化簡是學習代數、三角學與微積分的重要基礎。
根式計算示例
點擊任一示例即可將其載入計算器。
| 輸入 | 化簡結果 | 方法 |
|---|---|---|
| √50（radicand=50, index=2） | 5√2 | 將 50 分解為 5² × 2。提取 √(5²)=5 到根號外，根號內剩下 √2。小數：≈ 7.0711。 |
| ∛54（radicand=54, index=3） | 3∛2 | 將 54 分解為 3³ × 2。提取 ∛(3³)=3 到根號外，根號內剩下 ∛2。小數：≈ 3.7798。 |
| √144（radicand=144, index=2） | 12 | 144 = 12²，是完全平方數，所以 √144 = 12，結果精確且不再有根號。 |
| ⁵√96（radicand=96, index=5） | 2·⁵√3 | 將 96 分解為 2⁵ × 3。提取完全五次冪：⁵√(2⁵)=2 到根號外，根號內保留 ⁵√3。 |
如何使用根式計算器
- 在被開方數欄位輸入根號裡的數。它必須是正整數（偶次根的負數結果屬於複數）。
- 在指數欄位輸入根的次數。平方根輸入 2，立方根輸入 3，更高次根輸入任意大於等於 2 的整數。
- 點擊「化簡根式」。結果會顯示為係數乘以剩餘根式，並附帶小數近似值。
- 如果被開方數本身就是完全 n 次冪，結果將直接顯示為整數，不再保留根號。
- 點擊「重設」即可清空欄位，開始化簡另一個根式。
根式計算器常見問題
化簡根式是什麼意思？
化簡根式就是把表達式改寫成根號內不再含有完全 n 次冪因子的形式。化簡後的結果由一個係數和一個剩餘根式組成。例如 √72 可化簡為 6√2，因為 72 = 36 × 2，且 √36 = 6。
如何手動化簡平方根？
先找出能整除被開方數的最大完全平方數。把它的平方根作為係數，剩餘部分留在根號內。比如 √200：200 = 100 × 2，且 √100 = 10，所以 √200 = 10√2。也可以先做質因數分解並成對分組：200 = 2³ × 5² = (2 × 5²) × 2 → 10√2。
能化簡被開方數為負數的根式嗎？
對於奇次根（立方根、五次根等），負數被開方數是成立的：∛-8 = -2，因為 (-2)³ = -8。對於偶次根（平方根、四次根等），負數被開方數會得到虛數（複數），這超出本計算器的範圍。偶次根請輸入正數。
什麼是完全平方數，它如何幫助化簡根式？
完全平方數是其平方根為整數的數：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，等等。找出被開方數中的完全平方因子，就能把整數提到根號外。同樣，完全立方數（1、8、27、64、125，等等）可用來化簡立方根。
根式的乘積法則是什麼？
乘積法則指出：對於非負的 a、b，ⁿ√(a × b) = ⁿ√a × ⁿ√b。這是化簡時最核心的規則：把被開方數拆成一個完全幂因子和一個剩餘因子，先取完全幂因子的根，再把剩餘部分留在根號內。
為什麼有時會看到像 3√5 這樣的寫法？
3√5（或 3·√5）表示 3 乘以 5 的平方根。係數 3 是從根號內提取出來的，因為它來自一個完全平方數因子。這種寫法叫作化簡後的根式形式，方便合併同類根式：3√5 + 2√5 = 5√5，就像代數中的合併同類項。