根式乘法計算器 - 化簡根式

根式表示式是在被開方數上套用根號（√）的表示式。平方根 √x 代表平方等於 x 的非負數。兩個根式相乘時，會結合根式乘法法則與係數運算，得到化簡後的結果。 根式乘法法則指出，對任意非負實數 a 和 b，都有 √a × √b = √(a×b)。當根式帶有係數時，a√x 和 b√y 的完整乘法法則是：a√x × b√y = (a×b)√(x×y)。外部係數先相乘，被開方數再乘到同一個根號下。 相乘之後，會從合併後的被開方數中提出任何完全平方數來化簡結果。完全平方數是某個整數的平方：1、4、9、16、25、36 等。如果合併後的被開方數可寫成 k² × m，且 m 不再含有大於 1 的完全平方因子，那麼 √(k²×m) = k√m，k 就會被提出根號並乘到係數上。例如，3√2 × 2√8 = 6√16 = 6×4 = 24，因為 √16 = 4，而且被開方數最後化簡為 1。 特殊情況很常見。當 x = y（兩個被開方數相同）時，乘積 a√x × b√x = ab√(x²) = ab×x，結果是沒有根號的整數。這個性質也用來將根式與其共軛相乘，以消去分母中的根號。當合併後的被開方數本身就是完全平方數時，結果一定是整數。 根式乘法廣泛出現在數學與物理中。在幾何中，長和寬分別為 √a 與 √b 的長方形，其對角線可用畢氏定理求得，這會涉及根式的相乘與化簡。在二次方程中，判別式 √(b²−4ac) 經常需要透過因式分解來化簡。在三角學中，許多正弦與餘弦的精確值都包含 √2、√3 這類根式乘積。掌握根式的乘法與化簡，對這些以及更多情境中的代數運算都非常重要。