GCF和LCM計算器 - 最大公因數和最小公倍數
立即找出一組數字的最大公因數（GCF）與最小公倍數（LCM）。
輸入兩個或更多以逗號或空格分隔的正整數，即可同時計算GCF和LCM。
GCF和LCM計算器 - 最大公因數和最小公倍數
立即找出一組數字的最大公因數（GCF）與最小公倍數（LCM）。
輸入一組以逗號或空格分隔的正整數，例如：12, 18, 30
關於GCF和LCM
最大公因數（GCF）和最小公倍數（LCM）是數論中最基礎的概念之一。整數集合的GCF（也稱最大公約數或GCD）是能整除每個數且沒有餘數的最大正整數。LCM則是能被該集合中每個數整除的最小正整數。它們在無數數學與實務情境中都很常見，從分數約分到排程與工程問題都會用到。
計算兩個數的GCF最有效率的演算法是歐幾里得演算法，起源於古希臘，至今仍在使用。它的做法是反覆以較小的數替換較大的數，並計算餘數，直到餘數為零。最後一個非零餘數就是GCF。例如，GCF(48, 18)：48 = 2 * 18 + 12，接著18 = 1 * 12 + 6，再來12 = 2 * 6 + 0，所以GCF = 6。
一旦知道GCF，就可以用公式 LCM(a, b) = |a * b| / GCF(a, b) 來計算LCM。這樣不用列出所有倍數，即使數字很大也很有效率。對於兩個以上的數字，GCF和LCM都可以以迭代方式計算：GCF(a, b, c) = GCF(GCF(a, b), c)，LCM也是同理。
在日常生活中，GCF用來約分：當GCF(a, b) = 1時，分數a/b就是最簡分數。LCM則用於分母不同的分數加減法——通分時使用的公分母就是原分母的LCM。在排程中，LCM可以告訴你兩個週期性事件何時再次重合。例如，一個事件每4天重複一次，另一個每6天重複一次，它們會在 LCM(4, 6) = 12 天時同時發生。
這款計算器支援任意個正整數，並使用高效率的迭代歐幾里得演算法。結果會在瀏覽器中即時計算，且不會將任何資料傳送到伺服器。
範例
GCF和LCM計算範例：
| 數字 | GCF / LCM | 說明 |
|---|---|---|
| 12, 18 | GCF = 6, LCM = 36 | 基本的兩數範例 |
| 12, 18, 30 | GCF = 6, LCM = 180 | 三個數字 |
| 7, 13 | GCF = 1, LCM = 91 | 互質數；GCF = 1 |
| 24, 36, 48 | GCF = 12, LCM = 144 | 12的倍數 |
使用方式
- 在數字欄位中輸入兩個或更多正整數，並以逗號或空格分隔。
- 點擊計算，同時求出GCF和LCM。
- 從左側結果卡片查看GCF，從右側結果卡片查看LCM。
- 使用範例按鈕載入預設數字組並驗證計算器。
- 點擊重設清空輸入，開始新的計算。
常見問題
什麼是GCF（最大公因數）？
兩個或多個整數的GCF，是能整除所有這些數的最大正整數。例如，GCF(12, 18) = 6，因為6是同時整除12和18且沒有餘數的最大數。它也稱為GCD（最大公約數）。
什麼是LCM（最小公倍數）？
兩個或多個整數的LCM，是能被它們全部整除的最小正整數。例如，LCM(4, 6) = 12，因為12是同時能被4和6整除的最小數。LCM常用於分數加減時尋找公分母。
GCF和LCM彼此有什麼關係？
對任意兩個正整數a和b，它們的GCF與LCM的乘積等於這兩個數的乘積：GCF(a,b) * LCM(a,b) = a * b。利用這個恆等式，在知道GCF後可以快速求出LCM。例如，GCF(12,18) = 6，所以LCM(12,18) = 12*18/6 = 36。
兩個數的GCF為1代表什麼？
當GCF(a, b) = 1時，這兩個數稱為互質數。它們除了1之外沒有其他公因數。例如，7和13是互質數。任何相鄰整數都互質，質數與不能整除它的數也互質。
我可以計算兩個以上數字的GCF和LCM嗎？
可以。對於一組數字，GCF以迭代方式計算：GCF(a, b, c) = GCF(GCF(a, b), c)。LCM也採用相同的方法。這個計算器可處理任意數量的數字，並自動套用迭代演算法。
這個計算器使用什麼演算法？
本計算器使用歐幾里得演算法來計算GCF。給定兩個數a和b（其中a >= b），它會不斷計算a mod b，並將a替換為b、b替換為a mod b，直到餘數為零。這種方法效率高（步數為O(log min(a,b))），也能很好地處理大數。