高斯-喬丹消去法計算器 - 求解線性方程組
將增廣矩陣化為簡化列階梯形，求解線性方程組。
輸入線性方程組的係數，設定矩陣維度，然後按一下求解以取得完整解答。
高斯-喬丹消去法計算器 - 求解線性方程組
將增廣矩陣化為簡化列階梯形，求解線性方程組。
輸入每個方程式的係數。最後一行是常數項 (b)。
| x1 | x2 | | | b |
|---|---|---|---|
| | | |||
| | |
關於高斯-喬丹消去法
高斯-喬丹消去法是一種系統化演算法，透過對增廣矩陣施行初等列運算，直到矩陣達到簡化列階梯形 (RREF)，以求解線性方程組。此方法以卡爾·弗里德里希·高斯與威廉·喬丹命名，它延伸高斯消去法，持續化簡到每個主元都是 1，且主元所在欄的其他項目都是 0。結果可直接顯示解答，不需要回代。
流程從建立增廣矩陣 [A | b] 開始，其中 A 包含變數係數，b 放置每個方程式右側的常數。會套用三種列運算：交換兩列、將某一列乘以非零純量，以及把某一列的倍數加到另一列。這些運算不會改變方程組的解集，因此最後的 RREF 矩陣代表一個等價方程組。
含有 n 個未知數的 n 個方程式組，可能恰有一個解（當係數矩陣滿秩時）、無解（當系統不相容，出現左側全為零但右側非零的一列時），或有無限多解（當系統相依且主元欄少於變數數量時）。高斯-喬丹消去法能清楚辨識這三種情況。
此方法在線性代數課程中廣泛教授，因為它提供清楚且演算法式的途徑來求解任何線性方程組。實務上，數值版本的演算法會使用部分選主元來提升穩定性並降低捨入誤差。高斯-喬丹消去法也是計算反矩陣、求解最小平方法問題，以及計算零空間的基礎。
此計算器為 2x2、3x3 與 4x4 方程組實作帶部分選主元的高斯-喬丹消去法。它會顯示完整 RREF 矩陣與解的數值，讓你同時取得結果並理解系統的代數結構。
範例
代表性的線性方程組及其解：
| 方程組 | 解答 | 備註 |
|---|---|---|
| 2x + y = 5, 4x + 3y = 11 | x1 = 2, x2 = 1 | 唯一的 2x2 解 |
| 2x + y + z = 8, x + 3y - z = 10, x + y + 2z = 7 | x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1 | 3x3 唯一解 |
| x + y = 3, 2x + 2y = 6 | 無限多解 | 相依方程組 |
| x + y = 3, x + y = 5 | 無解 | 不相容方程組 |
使用方式
- 使用尺寸按鈕選擇方程式數量（列）與變數數量（行）。
- 在對應的矩陣儲存格中輸入每個變數的係數。最後一行放置常數項。
- 按一下求解，執行帶部分選主元的高斯-喬丹消去法。
- 從解答面板讀取結果。如果每個變數都顯示唯一數值，這些就是答案。
- 查看下方 RREF 矩陣，以理解代數結構或驗證計算。
常見問題
什麼是高斯-喬丹消去法？
高斯-喬丹消去法是高斯消去法的延伸，會將增廣矩陣一路化簡到簡化列階梯形 (RREF)。不同於需要回代的高斯消去法，高斯-喬丹消去法產生的矩陣可以直接讀出解答。
什麼是簡化列階梯形 (RREF)？
當矩陣中每個領先項（主元）都是 1、主元欄中的其他項目都是 0，且主元由上而下向右排列時，矩陣就是 RREF。對任何給定矩陣，RREF 都是唯一的，並直接編碼線性方程組的解。
方程組無解是什麼意思？
若消去過程產生形如 [0 0 ... 0 | k] 且 k 非零的一列，系統就是不相容的。這表示方程式彼此矛盾，沒有任何一點能同時滿足全部方程式。
方程組有無限多解是什麼意思？
當 RREF 的主元數少於變數數量，留下自由變數時，就會有無限多解。每個自由變數都可取任意實數值，形成一族解。解集會形成直線、平面或更高維的子空間。
什麼是部分選主元，為什麼要使用它？
部分選主元會交換列，使目前欄中絕對值最大的項目成為主元。這可降低除以極小數所造成的數值誤差，讓浮點運算中的演算法更穩定。
我可以用這個方法求矩陣的反矩陣嗎？
可以。若要反轉 n 乘 n 矩陣 A，將它與 n 乘 n 單位矩陣增廣成 [A | I]，再套用高斯-喬丹消去法。若 A 可逆，結果會是 [I | A 的反矩陣]，可直接得到反矩陣。此計算器著重於增廣方程組，但相同的列運算同樣適用。