複數根計算器 - 用德莫弗定理求 n 次根

每個非零複數都恰好有 n 個不同的 n 次根，而這個計算器會利用複數的極形式與德莫弗定理一次找出全部結果。給定複數 z = a + bi，它的模長為 r = √(a² + b²)，幅角為 θ = atan2(b, a)。寫成極形式時，z = r(cosθ + i·sinθ)，而 n 個 n 次根為 z_k = r^(1/n) · (cos((θ + 2πk)/n) + i·sin((θ + 2πk)/n))，其中 k = 0, 1, …, n − 1。 從幾何上看，這些根位於複平面上以原點為中心、半徑為 r^(1/n) 的圓上，彼此相隔 2π/n 弧度。k = 0 的根稱為主根，且最靠近正實軸（其幅角為 θ/n）。繞原點旋轉 2π/n 會把一個根映射到下一個根，這也是為什麼單位根會在單位圓上形成正 n 邊形。 複數根不只是代數上的趣味。在電機工程中，單位根描述三相電力系統中的相量，並支撐數位訊號處理中的離散傅立葉轉換。在控制理論中，根在複平面上的位置決定線性系統的穩定性。在量子力學中，複振幅及其根會出現在波函數與週期位能的分析裡。即使在純數論中，n 次單位根也會生成圓分域，這是現代代數的核心對象。 一個常見誤解是複數只有一個根，或者 −1 的平方根只有 i。事實上，−1 有兩個平方根——i 與 −i——而 1 對每個正整數 n 都有 n 個不同的 n 次根。計算器會將它們全部顯示為 a_k + b_k·i 的形式，並四捨五入到固定的小數位，讓你看見共軛對稱等數值規律。對於偶次根的實數輸入，結果會成對出現為共軛複數；對於 n 為奇數且輸入位於負實軸上的情況，恰好有一個根本身是實數且為負。 當你需要解 z^n = w、在複數域上分解多項式、研究單位根，或檢查複變分析與工程數學課程中的作業題時，都可以使用這個複數根計算器。