分母有理化計算器 - 根式分數
將分母含根式的分數有理化，支援簡單形式與二項形式，並逐步展示共軛法。
選擇分母類型，輸入數值，即可把含根式的分母轉成分母為有理數的等價分數。
分母有理化計算器 - 根式分數
將分母含根式的分數有理化，支援簡單形式與二項形式，並逐步展示共軛法。
關於分母有理化計算器
分母有理化是把分數改寫成分母中不再含根式的形式。分數的值不會改變，你只是把分子和分母同時乘上一個等於 1 的合適表達式。在初等代數中，最常見的目標是含平方根的分母，因為像 3/√5 或 2/(3 + √2) 這類式子，把根式移到分子後更容易比較、化簡與進一步運算。
對於 a/√b 這種簡單根式分母，方法很直接：同乘 √b/√b。分母變成 √b × √b = b，得到有理數；分子則變成 a√b。結果就是 (a√b)/b。這是許多學生最先學到的根式化簡模式，也常出現在幾何、三角與物理中，只要需要保留精確根式形式就會用到。
像 c + √b 或 c - √b 這樣的二項式分母則需要用共軛式。共軛式只改變兩項之間的符號：c + √b 的共軛式是 c - √b，c - √b 的共軛式是 c + √b。當二項式與其共軛式相乘時，中間的根式項會相消，得到平方差：(c + √b)(c - √b) = c² - b。正是這種相消，讓共軛式非常好用。它能把複雜的根式分母變成乾淨的有理數。
這個分母有理化計算器主要涵蓋課堂上最常見的兩類代數模式。在簡單模式下，輸入分子與被開方數，工具會回傳有理化後的分數與小數值。在二項式模式下，輸入分子、有理部分 c、符號與根式部分 b。計算器會顯示共軛式、分母化簡過程、最後的有理化表達式，以及小數檢查，方便你確認兩式等值。
理解這個方法比死記最後結果更重要。分母有理化不是為了改變答案，而是把同一個數改寫成更方便使用的形式。無論你是在做代數作業、為微積分準備精確形式，還是手動檢查符號運算，這個計算器都能幫助你把根式分母順利變成有理分母，而不跳過推理過程。
分母有理化範例
這些範例同時涵蓋簡單根式與二項式共軛兩種情況。
| 輸入 | 結果 | 說明 |
|---|---|---|
| 簡單模式：a = 3，b = 5 | (3√5)/5 | 從 3/√5 開始，乘以 √5/√5。分母變為 5，分子變為 3√5。 |
| 二項式模式：a = 2，c = 3，sign = +，b = 2 | 2(3 - √2)/7 | 從 2/(3 + √2) 開始，使用共軛式 3 - √2。分母變為 3² - 2 = 7。 |
| 二項式模式：a = 4，c = 5，sign = −，b = 6 | 4(5 + √6)/19 | 從 4/(5 - √6) 開始，乘以共軛式 5 + √6。分母化簡為 25 - 6 = 19。 |
如何使用分母有理化計算器
- 若分母只有一個平方根，選擇簡單（√b）；若分母是有理項與根式項相加或相減，則選擇二項式（c ± √b）。
- 輸入所選模式對應的分子和分母數值。在二項式模式下，也要選擇分母使用加號或減號。
- 點擊「有理化」查看共軛式或乘數、分母化簡過程，以及最後的有理化分數。
- 使用小數值核對有理化後的表達式是否與原分數等價。
分母有理化常見問題
為什麼數學中要對分母有理化？
有理分母通常更容易比較、化簡，並與其他表達式合併。在許多代數與微積分情境中，它被視為標準的精確形式。
什麼是共軛式？
對於含根式的二項式，共軛式保留相同的項，只改變兩項之間的符號。c + √b 的共軛式是 c - √b，反之亦然。
分母有理化會改變分數的值嗎？
不會。你只是把分子和分母同時乘以同一個非零表達式，也就是乘以 1。表達式看起來不同，但表示的是同一個數。
為什麼二項式模式下分母會變成 c² - b？
因為二項式與其共軛式相乘會形成平方差：(c + √b)(c - √b) = c² - (√b)² = c² - b。
分子可以是負數或小數嗎？
可以。計算器接受任何實數分子和實數有理部分 c。唯一限制是根號內的值必須為正，且分母不能取到 0。