二項式係數計算器

二項式係數 C(n, k)，也寫作「n 選 k」或符號 ⁿCₖ，表示在選取順序不重要時，從 n 個不同項目中恰好選出 k 個的方式數。它是組合數學中最基礎的量之一，也常見於機率論、代數、統計與電腦科學。 公式為 C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)，其中驚嘆號代表階乘：n! = n × (n−1) × (n−2) × ⋯ × 2 × 1，並約定 0! = 1。例如 C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10，代表從 5 個項目中選 2 個共有 10 種方式。 二項式係數是帕斯卡三角形的項目。在帕斯卡三角形中，每個數等於正上方兩個數的和；從零開始計數時，第 n 列第 k 欄正是 C(n, k)。這來自帕斯卡恆等式 C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k)，意思是某項目可被選入或不選入，問題分別化為從 n−1 中選 k−1 或選 k。 「二項式係數」之名來自二項式定理：(x + y)ⁿ = Σ C(n, k) × xᵏ × y^(n−k)，k 從 0 到 n。展開式中每一項 xᵏ y^(n−k) 的係數就是 C(n, k)。例如 (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³，係數 1、3、3、1 分別是 C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3)。 在機率中，二項式係數出現在二項分布，用來描述 n 次獨立、成功機率為 p 的伯努利試驗中成功的次數。恰好成功 k 次的機率是 C(n, k) × p^k × (1−p)^(n−k)。撲克牌手牌、彩券、委員會選擇，或固定 1 的數量的二進位字串，都可直接化為二項式係數計算。 當 n 和 k 很大時，直接計算階乘容易造成整數溢位。高效率演算法會用乘法公式 C(n, k) = ∏ (n − i) / (i + 1)（i 從 0 到 k−1）逐步計算，使中間值較小。本計算器使用精確整數運算，為實務輸入傳回精確結果。