二進位小數轉換器

二進位小數透過使用二的負次方作為位值，將二進位整數延伸到非整數數量的表示範圍。就像十進位把小數點右側的位置依序表示為十分位 (10⁻¹)、百分位 (10⁻²)、千分位 (10⁻³) 等，二進位把相同位置表示為二分之一 (2⁻¹ = 0.5)、四分之一 (2⁻² = 0.25)、八分之一 (2⁻³ = 0.125)、十六分之一 (2⁻⁴ = 0.0625) 等。二進位點右側的每個位元都代表這些遞減的二的次方之一。 將二進位小數轉換為十進位相當直接。先在二進位點處分開數字。整數部分使用標準方法轉換：最右側位元是 2⁰，下一位是 2¹，依此向左遞增。小數部分則將二進位點後最左側位元乘以 2⁻¹，下一位乘以 2⁻²，之後每個位元依序乘以連續的負次方。加總所有貢獻即可得到精確的十進位值。例如，二進位 101.101 等於 (1×4) + (0×2) + (1×1) + (1×0.5) + (0×0.25) + (1×0.125) = 5 + 0.5 + 0.125 = 5.625。 將十進位小數轉換為二進位需要兩個獨立程序。整數部分透過反覆除以 2 並記錄餘數來轉換。小數部分透過反覆乘以 2 來轉換：將小數乘以 2，記錄結果的整數部分（0 或 1）作為下一個二進位數字，然後繼續處理剩餘的小數部分。重複直到小數變成零，或達到所需精度。以 5.625 為例：整數 5 = 101₂；小數 0.625 × 2 = 1.25 → 位元 1；0.25 × 2 = 0.5 → 位元 0；0.5 × 2 = 1.0 → 位元 1；小數歸零，因此結果是 101.101₂。 需要理解的關鍵點是，並非所有十進位小數都有有限的二進位表示。正如 1/3 無法寫成有限十進位，許多簡單的十進位小數——包括 0.1、0.2 和 0.3——需要無限多個二進位位元才能精確表示。這正是電腦中浮點捨入誤差的根源。本轉換器的精度設定會控制要計算多少個小數二進位位元；提高精度會得到更接近的近似值，但對於非終止小數可能永遠不會得到精確結果。 二進位小數在運算中被廣泛使用。IEEE 754 浮點算術標準將單精度與雙精度數字編碼為帶有隱含前導 1 位元和偏置指數的二進位小數。數位訊號處理器將音訊和影像資料表示為稱為 Q 格式數的定點二進位小數。理解十進位值如何映射到二進位小數，對於編寫底層程式碼、處理嵌入式系統或偵錯軟體中的數值精度問題都非常重要。