判別式計算器 - 二次方程根分析
計算任意二次方程的判別式 Δ = b² − 4ac，並立即判定其根是實數、重根還是複數。
判別式計算器 - 二次方程根分析
計算任意二次方程的判別式 Δ = b² − 4ac，並立即判定其根是實數、重根還是複數。
輸入二次方程 ax² + bx + c = 0 中的係數 a、b 和 c。係數 a 不能為 0。
快速載入範例：
關於判別式計算器
判別式是一個單獨的數，它在你真正求解二次方程之前，就已經編碼了關於根的全部關鍵資訊。它來自二次方程求根公式：Δ = b² − 4ac，位於 x = (−b ± √Δ) / (2a) 的根號下。僅憑它的正負，就能判斷方程有兩個不同的實根（Δ > 0）、一個重實根（Δ = 0）還是兩個共軛複根（Δ < 0）。
當 Δ 為正時，√Δ 是一個實數且為正，求根公式中的 ± 會產生兩個不同的實數值。較大的根是 (−b + √Δ)/(2a)，較小的根是 (−b − √Δ)/(2a)。判別式越大，兩個根之間的距離通常越遠；當 Δ 較小且為正時，兩個根會更接近。在 y = ax² + bx + c 的圖像上，正判別式意味著拋物線在兩個不同點穿過 x 軸。
當 Δ 等於 0 時，√Δ = 0，公式中的 + 和 − 兩個分支都會給出同一個答案：x = −b/(2a)。這就是抛物線的頂點，曲線恰好在這一點與 x 軸相切。像 (x − 3)² = x² − 6x + 9 這樣的完全平方三項式，其判別式總是 0：Δ = 36 − 36 = 0。
當 Δ 為負時，Δ 沒有實數平方根，解會涉及虛數單位 i = √(−1)。兩個根是形如 (−b)/(2a) ± i√(|Δ|)/(2a) 的共軛複數。雖然它們不對應實數軸上的 x 截距，但在複數系統中它們是嚴格成立的解，並且在信號處理、控制理論和物理中經常出現。
判別式與數學中的其他領域也有重要聯繫。在二次方程求根公式中，它直接決定兩個解。在解析幾何中，它控制拋物線相對於 x 軸的位置。在方程論中，它還能推廣到更高次多項式，作為衡量有多少根重合的一個指標。韋達定理把判別式與根的和、根的積聯繫起來：對於 ax² + bx + c = 0，根的和是 −b/a，根的積是 c/a，而在標準化形式下，Δ = (根和)² − 4(根積) × a²/a²。
在判別式計算器中輸入任意有效的 a、b、c，就能立即看到 Δ、根的性質以及具體的根值。計算器支援所有三種情況——正判別式、零判別式和負判別式——並以標準的 a + bi 形式展示複根。
判別式範例
三個標準案例，涵蓋判別式的所有可能結果。
| 方程 | 判別式 | 根的性質 |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6) | Δ = 1 | Δ = (−5)²−4(1)(6) = 25−24 = 1 > 0。兩個不同的實根：x = 3 和 x = 2。 |
| x² − 4x + 4 = 0 (a=1, b=−4, c=4) | Δ = 0 | Δ = (−4)²−4(1)(4) = 16−16 = 0。一個重根：x = 2。拋物線與 x 軸恰好相切一次。 |
| x² + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Δ = −16 | Δ = 4−4(1)(5) = 4−20 = −16 < 0。兩個共軛複根：x = −1 ± 2i。拋物線不與 x 軸相交。 |
| 2x² − 8x + 6 = 0 (a=2, b=−8, c=6) | Δ = 16 | Δ = 64−4(2)(6) = 64−48 = 16 > 0。兩個不同的實根：x = 3 和 x = 1。 |
如何使用判別式計算器
- 先把二次方程寫成標準形式 ax² + bx + c = 0，並找出係數 a、b、c。
- 在第一個輸入框填入 a，第二個填入 b，第三個填入 c。注意 a 必須非零。
- 點擊「計算判別式」查看 Δ = b² − 4ac、根的性質以及根本身。
- 使用快速載入按鈕試試三個經典範例，分別對應正、零和負判別式。
- 點擊「重設」恢復預設值並開始新的計算。
判別式計算器常見問題
什麼是二次方程的判別式？
二次方程 ax² + bx + c = 0 的判別式是 Δ = b² − 4ac。它出現在求根公式的根號下，用來在不完全解方程的情況下判定根的個數和類型。判別式為正表示兩個不同的實根，等於 0 表示一個重根，小於 0 表示兩個共軛複根。
如何利用判別式求根？
知道 Δ 之後，把它代回二次方程求根公式：x = (−b ± √Δ) / (2a)。如果 Δ > 0，分別取 +√Δ 和 −√Δ，可得到兩個實根。如果 Δ = 0，唯一的根是 −b/(2a)。如果 Δ < 0，根是複數：x = −b/(2a) ± i√(|Δ|)/(2a)。
當判別式等於 0 時意味著什麼？
判別式為 0 表示二次方程有一個重根（也稱雙重根）。從幾何上看，拋物線 y = ax² + bx + c 與 x 軸相切——它只在頂點處接觸一次，不會穿過 x 軸。例如，完全平方三項式 x² − 4x + 4 = (x−2)² 的判別式就是 0。
判別式可以是負數嗎？
可以。判別式為負意味著 Δ 沒有實數平方根，因此二次方程沒有實根。此時它有兩個共軛複根，形式為 p + qi 和 p − qi。當拋物線完全位於 x 軸上方或下方且從不與其相交時，就會出現這種情況。
為什麼係數 a 必須非零？
如果 a = 0，方程 ax² + bx + c = 0 就會化簡為 bx + c = 0，變成一次方程而不是二次方程。此時二次公式和判別式都不再適用，因為分母 2a 會變成 0。這個計算器要求 a ≠ 0，以確保分析的是一個真正的二次方程。
判別式與二次函數圖像有什麼關係？
拋物線 y = ax² + bx + c 的 x 截距與方程的實根完全對應。若 Δ > 0，拋物線會在兩個不同點穿過 x 軸；若 Δ = 0，則它在一個點（頂點）與 x 軸相切；若 Δ < 0，拋物線根本不接觸 x 軸，說明所有根都是複數。