二次不等式繪圖計算機
分析並繪製形如 ax² + bx + c op 0 的二次不等式，提供根、頂點、解集與區間表示。
輸入係數 a、b、c，並選擇不等號，即可分析拋物線並找出解集。
二次不等式繪圖計算機
分析並繪製形如 ax² + bx + c op 0 的二次不等式，提供根、頂點、解集與區間表示。
關於二次不等式計算機
二次不等式是指涉及二次表示式——也就是二次多項式——並以 <、≤、> 或 ≥ 與某個值比較的不等式。最常見的形式是 ax² + bx + c > 0 或 ax² + bx + c < 0，其中 a ≠ 0。不同於二次方程式要求找出使表示式等於 0 的特定 x 值，二次不等式要求找出使表示式為正、為負、非正或非負的所有 x 值。答案通常是實數線上的一個區間或多個區間的聯集。
解二次不等式的關鍵在於理解拋物線 y = ax² + bx + c。a 的正負決定拋物線是向上開口（a > 0）還是向下開口（a < 0）。x 軸截距——也就是對應方程 ax² + bx + c = 0 的根——是拋物線穿越或接觸 x 軸的位置。判別式 Δ = b² − 4ac 可以告訴你有多少個實根：若 Δ > 0，有兩個相異實根；若 Δ = 0，恰有一個（重根）；若 Δ < 0，則沒有實根。
當 Δ > 0 且 a > 0 時，若要解 ax² + bx + c > 0：拋物線向上開口，並在兩個根之間落到 x 軸下方，所以表示式在根的外側為正，也就是 x < r₁ 或 x > r₂。若在相同條件下解 < 0，解集就是兩個根之間的區間：r₁ < x < r₂。當 a < 0 時，拋物線向下開口，這些情況會完全相反。
當 Δ = 0 時，只有一個相切點。若 a > 0，則表示式對所有 x 都滿足 ≥ 0（在重根處等於 0），而對任何 x 都不會滿足 < 0。若 Δ < 0 且 a > 0，拋物線從不與 x 軸相交，且始終位於其上方，因此 ax² + bx + c > 0 對所有實數 x 都成立，而 < 0 沒有解。
二次不等式常出現在拋體運動（物體何時高於某一高度？）、最佳化（在什麼輸入下成本高於收入？）、訊號處理（頻帶）以及工程公差分析。判別式公式 b² − 4ac 和二次公式 x = (−b ± √Δ) / (2a) 是分析中的兩大核心工具。
這個計算機接受係數 a、b、c 與不等號，接著計算判別式、找出實根、定位頂點，並以白話與區間表示法描述完整解集。它也會回報拋物線的開口方向，幫助你視覺化圖形。
二次不等式範例
四個案例涵蓋向上與向下開口的拋物線、兩個不同的根，以及一個重根。
| 不等式 | 解集 | 說明 |
|---|---|---|
| x² − 4x + 3 > 0 (a=1, b=−4, c=3) | （−∞，1）∪（3，∞） | 拋物線向上開口，根為 x=1 和 x=3。表示式在根的外側為正。 |
| −x² + 2x + 3 ≤ 0 (a=−1, b=2, c=3) | （−∞，−1] ∪ [3，∞） | 拋物線向下開口，根為 x=−1 和 x=3。表示式在根的外側為非正。 |
| 2x² + 3x + 4 < 0 (a=2, b=3, c=4) | 無解 | 判別式 Δ = 9 − 32 = −23 < 0 且 a > 0，因此表示式始終為正。 |
| x² − 6x + 9 ≥ 0 (a=1, b=−6, c=9) | 所有實數 | 在 x=3 有重根（完全平方）。表示式只在 x=3 時等於 0，其餘地方都為正。 |
如何使用二次不等式計算機
- 輸入係數 a（x² 項）、b（x 項）與 c（常數項）。係數 a 不能為 0。
- 從下拉選單選擇不等號：>、≥、< 或 ≤。
- 按一下「繪製不等式」。計算機會計算判別式、找出根（若有）、定位頂點，並決定完整解集。
- 在結果面板中閱讀區間表示法的解集。聯集符號 ∪ 表示解集由兩個分開的區間組成。
- 使用「重設」清除所有欄位並開始新題。
二次不等式計算機常見問題
什麼是二次不等式？
二次不等式是 ax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、≥ 或 ≤ 這類形式的不等式，其中 a ≠ 0。與方程式中求出使表示式等於 0 的特定 x 不同，不等式要求找出所有滿足條件的 x，通常是一段範圍或多段範圍的聯集。
首項係數 a 的符號如何影響解集？
當 a > 0 時，拋物線向上開口，所以表示式在兩個根之間為負，在外側為正。當 a < 0 時，拋物線向下開口，所以表示式在兩個根之間為正，在外側為負。改變 a 的符號，本質上會翻轉解集。
當判別式為負時會發生什麼事？
如果 Δ = b² − 4ac < 0，拋物線不會與 x 軸相交。當 a > 0 時，表示式始終為正，因此 ax²+bx+c > 0 對所有實數 x 都成立（解集 = ℝ），而 ax²+bx+c < 0 無解。當 a < 0 時則相反。
什麼是重根，它對解集有什麼影響？
當 Δ = 0 時，就會出現重根，表示拋物線只在一個點與 x 軸相切。若 a > 0，則表示式對所有 x 都滿足 ≥ 0（對 ≥ 來說，解集是所有實數），而表示式不會嚴格小於 0（對 < 來說，無解）。若 a > 0 且是 ≤ 不等式並且重根為 r，則解集只包含單點 x = r。
結果中的區間表示法要怎麼讀？
圓括號 ( ) 表示嚴格邊界（不包含端點，用於 > 或 <），方括號 [ ] 表示包含邊界（用於 ≥ 或 ≤）。符號 ∪ 表示「聯集」——解集是兩個區間中任一區間內所有數的集合。
解集可以是所有實數嗎？
可以。若 a > 0 且 Δ < 0，則 ax² + bx + c 對所有實數 x 都大於 0，因此 ax²+bx+c > 0（或 ≥ 0）的解集是 ℝ。同樣地，若 a < 0 且 Δ < 0，則 ax²+bx+c 對所有實數 x 都小於 0。