e 計算器
計算 e^x 指數函數、自然對數 ln(x) 與任意精度的歐拉數，並提供泰勒級數展開與逐步解法。
選擇計算類型，輸入數值，設定小數精度，即可取得結果與其數學性質。
e 計算器
計算 e^x 指數函數、自然對數 ln(x) 與任意精度的歐拉數，並提供泰勒級數展開與逐步解法。
關於歐拉數與 e 計算器
歐拉數 e 是最重要的數學常數之一，約為 2.71828182845904523536...。它和 π 一樣是無理數與超越數，不能表示為分數，也不能表示為整數係數多項式的根。雅各布·伯努利於 1683 年研究複利時最早探討它，萊昂哈德·歐拉後來給予符號 e，並在 18 世紀確立基本性質。
e 最自然的定義是自然指數函數的底數：它是唯一使 f(x) = e^x 等於自身導數的實數。因此 e^x 是微積分的基石。它也可定義為極限 e = lim(n→∞)(1 + 1/n)^n，直接來自連續複利：若以 100% 年利率無限頻繁計息，1 美元一年後會成長為 e 美元。
e 也可由無窮級數 e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... 定義，其中 n! 是 n 的階乘。此級數收斂很快，前 13 項即可得到 10 位小數精度。e 計算器可顯示 e^x 的泰勒級數部分和：e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...，對所有實數 x 都收斂。
自然對數 ln(x) 是 e^x 的反函數。若 e^y = x，則 ln(x) = y。它滿足 ln(xy) = ln(x) + ln(y)、ln(x/y) = ln(x) − ln(y) 與 ln(x^n) = n ln(x)，可將乘法、除法、乘方轉為加法、減法、乘法，因此在電子電腦出現前對科學計算非常重要。
e 與自然對數廣泛用於科學、工程、經濟與統計。放射性衰變遵循 N(t) = N₀ e^(−λt)，理想族群成長遵循 P(t) = P₀ e^(rt)，連續複利為 A = Pe^(rt)。自然對數出現在夏農熵中，常態分布包含 e^(−x²/2)。凡是模擬平滑連續的成長或衰減時，e 往往都會出現。
e 計算器範例
展示 e^x、ln(x) 與歐拉數本身的代表性計算。
| 輸入 | 結果 | 備註 |
|---|---|---|
| e^2 (x = 2) | ≈ 7.3890560989 | e 的平方。出現在連續複利中：以 100% 連續利率投資 1 美元，2 年後會成長到約 7.39 美元。 |
| ln(10) | ≈ 2.302585093 | 10 的自然對數。可用於在自然對數與以 10 為底的對數間轉換：log₁₀(x) = ln(x)/ln(10) ≈ ln(x)/2.3026。 |
| e（歐拉數） | ≈ 2.71828182845904 | 常數本身，精確到 15 位小數。定義為 lim(n→∞)(1 + 1/n)^n，也定義為和式 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... |
| e^5 (x = 5) | ≈ 148.413159102 | 展示快速的指數成長。族群模型、病毒傳播與複利都使用 e^(rt)，其中 r = 5 且 t = 1。 |
如何使用 e 計算器
- 選擇計算類型：e^x 計算指數函數，ln(x) 計算自然對數，e 顯示歐拉數與其性質。
- 在數字欄位輸入 x。對 ln(x) 而言，x 必須是正數；歐拉數模式不需要輸入。
- 設定小數精度（1–15 位）以控制結果顯示的小數位數。
- 按一下計算結果，面板會顯示計算值、表達式、科學記號與相關數學性質。
- 按一下重設即可清除輸入並開始新的計算。
e 計算器常見問題
什麼是歐拉數 e？
歐拉數 e ≈ 2.71828... 是自然指數函數的底數，由 e^x 的導數等於自身這一性質唯一定義。它等於 lim(n→∞)(1 + 1/n)^n，描述 100% 連續複利成長的結果，且是無理數與超越數。
e^x 和 10^x 有什麼差別？
兩者都是指數函數，但底數不同。e^x 以歐拉數為底，10^x 以 10 為底。自然指數的導數就是自身：d/dx(e^x) = e^x；10^x 求導會引入 ln(10)。
為什麼 ln(x) 稱為「自然」對數？
自然對數以 e 為底，而 e 是指數成長與衰減的自然底數。它在微積分中自然出現，例如從 1 到 t 的 1/x 積分等於 ln(t)。
e^x 的泰勒級數是什麼？
泰勒級數為 e^x = Σ(n=0 to ∞) x^n/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...，對所有實數和複數 x 都收斂，是軟體計算 e^x 的基礎。
歐拉恆等式是什麼，為什麼有名？
歐拉恆等式是 e^(iπ) + 1 = 0，其中 i 是虛數單位，π 是圓周率。它用一個簡潔公式連結 e、i、π、1 和 0，因此常被稱為數學中最美的方程式。
e 計算器有多精確？
計算器使用 JavaScript 雙精度浮點運算（IEEE 754），約有 15–16 位有效數字，可顯示最多 15 位小數。多數科學、工程與金融用途已足夠。