線段定比分點計算器
使用內分或外分公式，找出依指定比例分割有向線段的點。
輸入兩個端點和比例 m:n，即可立即求出有向線段上的分點。
線段定比分點計算器
使用內分或外分公式，找出依指定比例分割有向線段的點。
關於線段定比分點計算器
定比分點公式是解析幾何中用來求出按指定比例分割線段的點的工具。只要知道端點 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)，以及比例 m:n，就能在不用按比例作圖的情況下直接算出點 P 的精確座標。這在解析幾何、工程圖、電腦圖學、測量與物理題目中都很實用，因為這些情境都很重視精度。
對於內分，點位於 A 與 B 之間。座標是端點的加權平均：P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m+n), (m·y₂ + n·y₁)/(m+n))。權重反映每個端點對結果的影響程度。如果 m 和 n 相等，點就是中點；如果某一項較大，點會更靠近另一端，因為較大的權重會把平均值往那個方向拉。
對於外分，點位於直線延長線上、線段外側。此時公式會變號：P = ((m·x₂ - n·x₁)/(m-n), (m·y₂ - n·y₁)/(m-n))。外分在基礎課程中較少見，但在射影幾何、向量分析，以及需要點落在線段外部的構造中都很重要。外分有一個關鍵限制：m 和 n 不能相等，否則分母會變成零。
這個定比分點計算器可讓你用同一組座標在內分與外分之間切換。輸入 x₁、y₁、x₂、y₂，以及比例 m 和 n，工具就會立即計算出 P(x, y)。由於它直接使用數值公式，因此無論是正座標、負座標還是小數座標，都能正常運作。
學生常常會混淆比例的順序，或不清楚哪個係數對應哪個點。一個實用的記法是：在這裡使用的標準內分公式中，m 對應點 B，n 對應點 A。與其死背零散的座標技巧，不如把定比分點公式理解成一個加權位置公式。它告訴你，點會根據各端點的貢獻強弱落在什麼位置。用這個計算器來檢查作業、驗證作圖結果，或加快任何涉及有向線段與比例的幾何題。
定比分點範例
以下是幾個常見的內分和外分案例。
| 輸入 | 結果 | 說明 |
|---|---|---|
| A(1, 2), B(7, 8), m:n = 1:2, 內分 | P = (3, 4) | 內分時，點位於 A 與 B 之間。公式得到 ((1·7 + 2·1)/3, (1·8 + 2·2)/3) = (3, 4)。 |
| A(0, 0), B(10, 0), m:n = 3:2, 內分 | P = (6, 0) | 點位於從 A 朝 B 方向的五分之三處，因此只有 x 座標改變。 |
| A(1, 1), B(7, 4), m:n = 2:1, 外分 | P = (13, 7) | 外分會延伸到 B 點之外。使用外分公式得到 ((2·7 - 1·1)/(2-1), (2·4 - 1·1)/(2-1)) = (13, 7)。 |
如何使用線段定比分點計算器
- 先選擇該點是在線段內部還是外部進行分割。
- 輸入 A 點與 B 點座標，再輸入比例 m 和 n。
- 點擊「計算座標」，使用對應的定比分點公式求出 P 的座標。
- 查看顯示的點與公式摘要，確認該點位於端點之間還是直線延長線上。
定比分點常見問題
內分和外分有什麼差別？
內分表示點位於 A 與 B 之間；外分表示點位於線段外側、同一直線上。兩者公式的分子與分母符號不同。
什麼時候定比分點公式會給出中點？
當內分時 m = n，點就是中點。公式會化簡為 ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)。
為什麼外分時 m 和 n 不能相等？
因為分母是 m - n。若兩者相等，分母為零，外分公式無定義。
可以使用負座標或小數座標嗎？
可以。只要分母不為零，公式適用於任何實數座標和比例值，包括負數與小數。
比例 m:n 應該如何理解？
這個比例描述點如何分割從 A 到 B 的有向線段。在這裡使用的標準公式中，m 對應點 B，n 對應點 A。