點積計算器

點積也稱為純量積或內積，是向量數學中最基本的運算之一。給定兩個向量 a 和 b，它們的點積是對應分量乘積的總和。對於 2D 向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂)，公式為 a·b = a₁b₁ + a₂b₂。對於 3D 向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，公式延伸為 a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。不同於叉積，其結果是單一實數，也就是純量，因此點積也稱為純量積。 點積的幾何詮釋同樣重要：a·b = |a| × |b| × cos(θ)，其中 |a| 和 |b| 是各自向量的長度，θ 是它們之間的夾角。只要兩個向量都不是零向量，就能用 θ = arccos(a·b / (|a| × |b|)) 計算任意兩向量的夾角。此點積計算器會使用這個公式，在顯示點積數值的同時，以度為單位顯示夾角。 點積的正負號與大小帶有有用資訊。當點積為零時，向量彼此垂直（正交），表示它們指向形成 90° 角的方向。正點積表示兩向量之間為銳角（小於 90°），負點積則表示為鈍角（大於 90°）。當兩個向量平行且指向相同方向時，它們的點積等於兩者長度的乘積。 點積的應用遍及許多領域。在物理中，功可計算為 W = F·d，也就是力向量與位移向量的點積。在電腦圖學中，點積用於光照計算（朗伯餘弦定律），判斷表面應被照亮的程度。在機器學習中，點積是計算特徵向量相似度的基礎，也是神經網路運算的核心。在訊號處理中，兩個訊號的相關性可透過在時間視窗內計算點積取得。 點積計算器也會計算兩個輸入向量的長度。向量長度（歐幾里得範數）是分量平方和的平方根：2D 為 |a| = √(a₁² + a₂²)，3D 為 |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)。單位向量的長度為 1，兩個單位向量的點積會直接等於它們夾角的餘弦。如果需要將向量正規化（轉換成單位向量），請將每個分量除以該向量的長度。 理解點積對任何學習線性代數、多變數微積分、物理或電腦科學的人都很重要。此計算器可立即提供數值結果和向量關係分類，適合用於作業、考試準備、物理解題和工程應用。