點到平面距離計算器 - 3D幾何

點到平面的距離是三維解析幾何中的基本量測之一。給定點 P = (x₀, y₀, z₀) 和平面方程 ax + by + cz + d = 0，垂直距離為 D = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)。這個公式由兩部分組成：分子是將點的座標代入平面方程左側後得到結果的絕對值；分母是平面法向量 n = (a, b, c) 的歐幾里得長度（模）。 這個公式背後的幾何原理非常優雅。三維中的每個平面都有一個法向量——也就是垂直於該平面的向量。在方程 ax + by + cz + d = 0 中，法向量正是 (a, b, c)。點到平面的最短路徑總是沿著這個法向方向，因為任何非垂直路徑都會更長。這個公式量測的是 P 在法向上的投影距離，再除以法向量長度，得到單位化後的距離。 當平面方程寫成 ax + by + cz = e（左側沒有 d 項）時，將其改寫為 ax + by + cz − e = 0，並在公式中使用 d = −e。例如，平面 x + y + z = 3 可寫成 x + y + z − 3 = 0，因此 a = b = c = 1，d = −3。此計算器接受的係數形式正是這樣：a、b、c 是變數係數，d 是把方程整理為等於 0 時加入的常數項。 當距離為 0 時會出現一個特殊情況：這表示點正好位於平面上。此時滿足 ax₀ + by₀ + cz₀ + d = 0，說明該點是平面方程的一個解。這提供了一種快速判斷某點是否屬於給定平面的方式。 它的應用範圍很廣。在電腦圖學中，光照模型會計算光源或相機到幾何平面的距離，以決定陰影與可見性。在機器學習中，支援向量機透過最大化兩類之間的間隔來運作，而這個間隔就是最近支援向量到超平面的點到平面距離的兩倍。在結構工程與建築中，淨空檢查用來驗證關注點是否與邊界平面保持安全距離。在機器人學中，避碰系統會即時計算機器人部件到平面工作空間邊界的距離。輸入任意點與任意平面方程，即可立即得到精確的垂直距離。