等差數列求和計算機
使用首項、公差和項數，快速求任意等差數列的和。
輸入首項、公差和項數，即可立即計算等差數列的總和。
等差數列求和計算機
使用首項、公差和項數，快速求任意等差數列的和。
關於等差數列求和計算機
等差數列（也稱算術數列或算術級數）是一種數列：從第二項開始，每一項都在前一項的基礎上加上一個固定常數，這個常數稱為公差。如果首項是 a、公差是 d，數列就依序為：a、a+d、a+2d、a+3d，直到第 n 項。
等差數列的通項公式（第 n 項）為：an = a + (n − 1)d。它讓你不必計算前面的所有項，就能直接求出任意一項。例如，在數列 2、5、8、11、14 中（首項 2、公差 3），第 10 項就是 2 + (10 − 1) × 3 = 29。
前 n 項的和記作 Sn，公式為：Sn = n/2 × [2a + (n − 1)d]。這個優雅的公式也可以寫成 Sn = n/2 ×（首項 + 末項），在已知末項時特別方便。高斯小時候就曾用它快速加總 1 到 100 的整數：n=100，a=1，d=1，因此 S100 = 100/2 × (1 + 100) = 5050。
等差數列的變化率是固定的，所以把它們畫在圖上時，會形成一條直線——這也是「線性數列」名稱的由來。相對地，等比數列的項之間保持固定比值，圖形會呈指數曲線成長。
在現實世界中，等差數列可用來描述許多實際情境。每年固定加薪一定金額的薪資就是等差數列。物體在恆定加速度下，每一秒內所走過的距離也符合等差規律。劇院座位按排數逐排增加，每一排比前一排多一個座位，也會形成等差數列。年金計算、單利計算和線性折舊都依賴這個計算機所使用的同一套等差數列公式。
等差數列求和範例
展示等差數列求和公式的常見範例。
| 輸入 (a, d, n) | 和 (Sn) | 備註 |
|---|---|---|
| a=1, d=1, n=100 | 5050 | 1 到 100 的整數和。Sn = 100/2 × (1+100) = 50 × 101 = 5050。經典的高斯問題。 |
| a=2, d=3, n=5 | 40 | 數列：2、5、8、11、14。Sn = 5/2 × [2×2 + (5−1)×3] = 2.5 × 16 = 40。 |
| a=10, d=−3, n=4 | 22 | 遞減數列：10、7、4、1。Sn = 4/2 × [20 + 3×(−3)] = 2 × 11 = 22。 |
| a=5, d=0, n=6 | 30 | 常數數列：d=0 代表所有項都等於 5。總和 = 6 × 5 = 30。 |
如何使用等差數列求和計算機
- 輸入首項 (a) —— 數列中第一個數的值。
- 輸入公差 (d) —— 每一項固定增加的數值。若是遞減數列，請輸入負數。
- 輸入項數 (n) —— 你想要求和的項數。必須是正整數。
- 點擊「計算總和」。計算機會顯示 Sn、末項 an 以及所用公式。
- 點擊「重設」清空所有欄位，開始新的計算。
等差數列求和常見問題
等差數列求和的公式是什麼？
公式是 Sn = n/2 × [2a + (n − 1)d]，其中 n 是項數，a 是首項，d 是公差。也可以寫成 Sn = n/2 ×（首項 + 末項）。兩種形式結果相同，依照手邊資訊選擇較方便的即可。
公差可以是負數或 0 嗎？
可以。公差為負數表示數列遞減，也就是每一項都比前一項小。例如 10、7、4、1 的 d = −3。公差為 0 則表示所有項都相同，和等於 n × a。
等差數列和等比數列有什麼差別？
等差數列中，相鄰兩項的差是一個固定值（公差 d）；等比數列中，相鄰兩項的比是一個固定值（公比 r）。等差數列按線性成長，等比數列按指數成長。本計算機專門用於等差（線性）數列。
已知首項、末項和公差時，如何求項數？
使用公式 n = (末項 − 首項) / d + 1。例如數列 3、7、11、15、19 中，末項是 19，首項是 3，d 是 4：n = (19 − 3) / 4 + 1 = 5。知道 n 之後，就可以把 a、d 和 n 輸入計算機求和。
為什麼求和公式裡有 n/2？
n/2 這個因子來自首尾配對，而每一對的和都相同。把數列正著寫一遍、倒著寫一遍並逐項相加時，每一對都等於（首項 + 末項）。兩份數列一共分成 n 對，因此要乘以 n/2。
這個計算機可以用於單利計算嗎？
可以。貸款或投資的單利會生成一個餘額等差數列。如果本金為 P，每期獲得的利息為 I，並且想計算 n 期後的總額，可設 a = P + I，d = I，n 為期數。求和結果就是每期末餘額的總和。