等邊三角形計算器

等邊三角形是三邊長度完全相同的三角形。由於三邊相等，三個內角也完全相等，而且每個角都正好是 60 度。這種邊長與角度的雙重對稱性，使等邊三角形在所有三角形中具有最高的對稱性，也是唯一同時屬於正多邊形的三角形。 因為等邊三角形的所有性質都可以由一個量——邊長——推導出來，所以只要一個輸入就能算出所有尺寸。面積公式為 (√3/4) × s²，其中 s 為邊長。這個公式可先求出高，再代入一般三角形面積公式（½ × 底 × 高）推導而得。周長則很簡單，就是 3s，因為三邊相等。 等邊三角形的高（也稱垂線）是從一個頂點到對邊的垂直距離，等於 (√3/2) × s。這個數值直接來自畢氏定理：垂線會把底邊平分成兩段長度為 s/2 的線段，因此滿足 h² + (s/2)² = s²，得到 h = s√3/2 ≈ 0.866s。 內切圓半徑是能容納在三角形內部的最大圓的半徑（也就是內接圓的半徑）。對等邊三角形而言，內切圓半徑等於 s√3/6 ≈ 0.289s。外接圓半徑是通過三個頂點的最小圓的半徑（也就是外接圓的半徑），等於 s√3/3 ≈ 0.577s。一個重要關係是：對任何等邊三角形，外接圓半徑都恰好是內切圓半徑的兩倍，而且重心、內心、外心與垂心都會重合於同一點。 等邊三角形公式中反覆出現的 √3 常數，是 60° 的正弦與餘弦所導致的結果，√3（約為 1.7321）是 3 的平方根。由於所有角都為 60°，因此 sin(60°) = √3/2，cos(60°) = 1/2，讓 √3 成為公式中的普遍因子。 等邊三角形在自然界與人類設計中都十分常見。在化學中，許多分子採用 120° 鍵角的平面三角形幾何結構，對應於圍繞中心原子的規則排列。在工程中，三角形框架是結構桁架的基礎，因為三角形是唯一在邊長不變時不會改變形狀的多邊形。等邊三角形尤其提供了極高的結構效率。在藝術與設計中，等邊三角形完美的對稱性使其成為鑲嵌圖案、標誌與裝飾紋樣中的經典元素。測地穹頂也使用等邊三角形網路，建造用料極少卻能自我支撐的曲面結構。 在實際應用中，這個計算器可以處理任何正邊長——無論是像 6 這樣的整數、像 4.5 這樣的小數，還是像 100 這樣的較大數值——並回傳精確到 10 位有效數字的結果。五個輸出值會同時更新，方便你一眼比較。