德卡特符號法則計算機

德卡特符號法則是代數中的經典定理，由勒內·笛卡爾於 1637 年《幾何學》中首次發表。這條法則只要觀察多項式係數的符號，不必求根，就能快速給出多項式可能具有多少正實根與負實根的上界。 對正實根而言，係數皆為實數的多項式 f(x) 的正實根個數，要麼等於非零係數序列中的符號變化次數，要麼比這個次數少一個偶數。每減少 2，就代表有一對共軛複根取代了一對實根。 要套用負實根規則，把多項式中的 x 換成 −x，得到 f(−x)，再統計結果係數序列中的符號變化次數。這個數量給出負實根的最大個數，同樣也可能再減少偶數個。 例如，考慮 f(x) = x³ − 2x² + 5x − 3。依序的係數是 1, −2, 5, −3。觀察符號：+, −, +, −，共有三次符號變化（+ 到 −、− 到 +、+ 到 −）。因此 f(x) 的正實根個數可能是 3 個或 1 個。對於 f(−x) = −x³ − 2x² − 5x − 3，符號是 −, −, −, −，沒有符號變化，因此沒有負實根。 一個重要細節是：統計符號變化時會忽略零係數（也就是多項式中缺少的項）。只有非零係數才會參與符號序列的判斷。這表示 x⁴ − x² + 1 應以係數 [1, −1, 1] 來分析，而不是 [1, 0, −1, 0, 1]。 這條法則很強大，因為計算極其簡單——你只需要看符號，不必計算任何根。這讓它成為多項式分析的理想第一步：如果法則告訴你某個多項式最多只有一個正根，你就可以據此更有針對性地進行數值求根。 不過，這條法則只提供上界，而不是精確數量。由於共軛複根可以「取代」成對的實根，多項式的正根或負根可能少於最大值。這條法則也不提供根的大小或重數資訊，更無法偵測複根。 在實務上，德卡特符號法則通常會與有理根定理、斯圖姆定理或數值方法結合使用。工程師用它做控制系統穩定性分析，經濟學家用它來限制市場模型中的均衡數量，數學家則把它當作教學工具，用來連結多項式的代數結構與幾何行為。