乘積和計算器

輸入以逗號或空格分隔的數字，計算兩個向量的點積。

輸入兩個等長向量，計算它們的點積（對應元素乘積之和）。

乘積和計算器
輸入以逗號或空格分隔的數字，計算兩個向量的點積。

關於乘積和計算器

乘積和更正式地稱為點積或純量積，是線性代數與數學中的基本運算。它接收兩個等長的數字序列（向量），並回傳一個純量數值。此運算的定義是將兩個向量中對應位置的元素相乘，然後加總所有乘積。對於向量 A = [a₁, a₂, …, aₙ] 和 B = [b₁, b₂, …, bₙ]，點積為 A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ。 從幾何角度來看，點積與兩個向量之間的夾角密切相關。公式 A · B = ‖A‖ ‖B‖ cos(θ) 顯示，點積等於兩個向量的長度相乘，再乘以它們夾角的餘弦值。這個幾何解釋具有深遠意義：如果兩個向量互相垂直（正交），它們的點積為零，因為 cos(90°) = 0。如果它們指向相同方向，點積等於它們長度的乘積（可能的最大值）。如果它們指向相反方向，點積為負。 在物理學中，點積用於計算機械功：功 = 力 · 位移，其中力與位移都是向量，而功是純量結果。在機器學習與資料科學中，點積是神經網路的核心運算——每一層的輸出都是權重與輸入的乘積和。在電腦圖學中，表面法線與光線方向向量之間的點積決定表面看起來有多亮——這是幾乎所有 3D 渲染器使用的朗伯著色模型基礎。 此計算器可接受任意長度的向量。你可以輸入以逗號分隔的元素（例如 1, 2, 3），也可以用空格分隔（例如 1 2 3）。整數、小數和負數都支援。唯一要求是兩個向量必須有相同數量的元素——如果長度不同，點積就未定義。 除了幾何與物理解釋外，點積也用於統計學（相關係數涉及乘積和）、經濟學（總成本 = 數量向量與價格向量的點積）以及訊號處理（卷積與相關運算建立在乘積和之上）。理解這個簡單運算，能打開通往各類定量學科的大門。

乘積和範例

點選任一範例即可載入計算器。

輸入 (A · B)點積說明
A=[1,2,3], B=[4,5,6]32(1×4)+(2×5)+(3×6) = 4+10+18 = 32。兩個 3 元素向量的基本點積。
A=[1,0,−1], B=[1,1,1]0(1×1)+(0×1)+(−1×1) = 1+0−1 = 0。正交向量的點積永遠為零。
A=[1.5,−2,3.1], B=[2,3.5,−1]−7.1(1.5×2)+(−2×3.5)+(3.1×−1) = 3−7−3.1 = −7.1。負結果表示向量大致指向相反方向。
A=[5,2,10], B=[1.5,4,0.75]23實際成本：[5,2,10] 的數量與 [1.50,4.00,0.75] 的價格做點積 = 7.5+8+7.5 = 23。

如何使用乘積和計算器

  1. 在第一個欄位輸入向量 A 的元素，以逗號或空格分隔（例如 1, 2, 3 或 1 2 3）。
  2. 在第二個欄位用相同格式輸入向量 B 的元素。兩個向量必須有相同數量的元素。
  3. 點選「計算乘積和」。計算器會將對應元素相乘並加總乘積。
  4. 查看點積結果。正值表示向量大致指向相同方向；負值表示大致相反；零表示正交。
  5. 點選「重設」清除兩個欄位，以進行新的計算。

乘積和常見問題

點積和叉積有什麼不同？
點積（乘積和）接收任意長度的兩個向量並回傳一個純量，也就是單一數字。叉積只對 3D 向量有定義，並回傳一個同時垂直於兩個輸入向量的新向量。需要對齊程度或投影的純量度量時使用點積；需要垂直向量時使用叉積。
為什麼點積為零代表向量垂直？
幾何公式 A · B = ‖A‖ ‖B‖ cos(θ) 顯示，當 cos(θ) = 0 時點積為零，而這發生在 θ = 90° 時。成直角的兩個向量稱為正交向量，且無論其長度為何，點積都會恰好為零。
負的點積代表什麼？
負的點積表示兩個向量之間的夾角大於 90°，因此 cos(θ) 為負。從幾何上看，這些向量通常指向相反方向。非常負的點積（接近 −‖A‖‖B‖）表示它們幾乎完全相反。
點積在機器學習中如何使用？
在神經網路中，每個神經元會計算其輸入的加權和，這正是權重向量與輸入向量的點積。矩陣乘法——深度學習的骨幹——是一組系統化的點積。點積也出現在大型語言模型等 Transformer 模型使用的注意力機制中。
兩個向量都需要相同長度嗎？
是的，只有當兩個向量有相同數量的元素時，點積才有定義。如果長度不同，此運算未定義，計算器會顯示錯誤。計算前請確認每個欄位中的數字數量相同。
我可以用這個計算器處理超過 3 維的向量嗎？
可以。此計算器適用於任意長度的向量——2D、3D、4D 或任何更高維度。只要輸入所有元素，並以逗號或空格分隔即可。無論維度如何，計算方式都相同：將對應元素相乘並加總結果。