多項式乘法計算器 - 代數工具
輸入係數的逗號分隔列表，即可相乘任意兩個多項式，立刻得到完全展開的乘積多項式。
多項式乘法計算器
請輸入從常數項開始、以逗號分隔的係數。例如，'1, 2, 3' 代表 1 + 2x + 3x²。
請輸入從常數項開始的逗號分隔係數：例如 '1, 2, 3' 代表 1 + 2x + 3x²
請輸入從常數項開始的逗號分隔係數：例如 '1, 2, 3' 代表 1 + 2x + 3x²
關於多項式乘法計算器
多項式是由一個或多個項組成的代數表示式，每一項都由係數乘上變數的非負整數次方構成。例如，3x² + 2x + 1 是一個二次多項式，係數分別為 3、2 和 1。兩個多項式相乘是代數、微積分以及許多應用領域中的基礎運算。
多項式相乘的標準方法，是把第一個多項式的每一項分配到第二個多項式的每一項，然後合併同類項。如果第一個多項式有 m 項、第二個有 n 項，乘法就會產生 m×n 個中間乘積。將相同 x 次方的項合併後，結果多項式的次數等於兩個輸入次數之和。
本計算器使用係數列表表示法：你按次方由低到高輸入係數，從常數項開始。輸入 '1, 2, 3' 代表 1 + 2x + 3x²，其中係數 1 對應 x⁰，2 對應 x¹，3 對應 x²。接著運算使用離散摺積演算法完成，也就是每個輸出係數等於所有索引之和等於該輸出索引的輸入係數乘積之和。
二項式的 FOIL 方法是多項式乘法的一種特殊情況，此時每個多項式恰好有兩個項（m = n = 2），會產生四個中間乘積。對於三項式或更高次的多項式，同樣適用分配律，只是項數更多。例如，(1 + x + x²) 與 (1 + x) 相乘會得到一個三次多項式：1 + 2x + 2x² + x³。
多項式乘法的實際應用非常廣泛。在訊號處理中，係數代表濾波器抽頭或訊號樣本的多項式相乘，等同於摺積，也是數位濾波的核心運算。在電腦代數系統中，多項式乘法用於展開符號表示式、電腦輔助設計和符號微分。在組合數學中，生成函數是用來計數組合物件的多項式，相乘則表示物件的組合。掌握這個計算器及其底層演算法，有助於進一步學習代數、離散數學和數值計算。
多項式乘法範例
每個範例都展示係數輸入、還原後的多項式及其乘積。
| 輸入係數 | 乘積 | 說明 |
|---|---|---|
| P₁: 1, 2 | P₂: 3, 4 | 3 + 10x + 8x² | (1+2x)(3+4x)：展開 1 和 2x |
| P₁: 1, 0, 1 | P₂: 1, 1 | 1 + x + x² + x³ | (1+x²)(1+x)：二次 × 一次 |
| P₁: 1, 1 | P₂: 1, −1 | 1 − x² | 平方差公式 |
| P₁: 1, 2, 1 | P₂: 1, 1 | 1 + 3x + 3x² + x³ | 三項式乘二項式 |
如何使用計算器
- 在「第一個多項式」中輸入第一個多項式的係數，以逗號分隔，並從常數項開始（例如 '2, 3' 代表 2 + 3x）。
- 以相同格式在「第二個多項式」中輸入第二個多項式的係數。
- 點擊「計算乘積」查看展開後的乘積多項式。
- 以標準多項式記法閱讀結果——係數依從常數項到最高次方的順序排列。
- 點擊「重設」清空兩個欄位並開始新的乘法。
常見問題
係數應該按什麼順序輸入？
請按次方由低到高輸入係數，從常數項（0 次方）開始。對於多項式 3 + 2x + x²，請輸入 '3, 2, 1'。如果多項式以零常數項開頭，例如 x² + 4x，請輸入 '0, 4, 1'。
乘積多項式的次數是多少？
乘積的次數總是兩個輸入多項式次數之和。如果一個二次多項式與一個三次多項式相乘，乘積就是五次多項式。因此，乘積係數列表共有 degree-of-P1 + degree-of-P2 + 1 項。
多項式乘法與 FOIL 有什麼關係？
FOIL 是多項式乘法的特殊情況，也就是兩個多項式都是二項式（一次、兩個項）。FOIL 會產生四個乘積；一般多項式乘法會產生 m×n 個乘積，並把相同的分配律推廣到更多項。
可以輸入帶負係數的多項式嗎？
可以。請用負號輸入負係數，例如 '1, -3, 2' 代表 1 − 3x + 2x²。數字之間用逗號或空格分隔即可，計算器可以正確處理負號。
摺積演算法是做什麼的？
多項式乘法在數學上與離散摺積完全等價。乘積中位置 k 的每個係數，等於所有滿足 i + j = k 的係數對 (c₁[i], c₂[j]) 的和。這也是數位訊號處理中用來組合濾波響應的同一運算。