部分分式分解計算器
將任意真有理式拆成若干更簡單的部分分式之和——輸入分子與分母多項式，立即取得完整分解。
請使用標準記法輸入多項式（例如 x^2 + 3x + 2）。分子的次數必須小於分母的次數。
部分分式分解計算器
將任意真有理式拆成若干更簡單的部分分式之和——輸入分子與分母多項式，立即取得完整分解。
關於部分分式分解計算器
部分分式分解是一種代數技巧，能把有理式——也就是分子與分母皆為多項式的分數——改寫成若干更簡單分式的和。這個方法與通分相反：不是把分數加在一起，而是把一個複雜分數拆開。如此得到的各項都更容易做積分、求拉普拉斯反變換，或進行其他運算。
代數基本定理保證：任何實係數多項式都可以分解為對應實根的一次因子 (x − r) 與不可約二次因子 (x² + px + q) 的乘積。部分分式分解就是先把分母因式分解，再把原式寫成各因子對應項的和。對於不同的一次因子 (x − r)，對應項是 A/(x − r)；對於重複的一次因子 (x − r)ⁿ，需要 n 項：A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₙ/(x − r)ⁿ。對於不可約二次因子 (x² + px + q)，對應項是 (Ax + B)/(x² + px + q)。
常數可用待定係數法求出：先把分解等式兩邊乘上分母消去所有分式，再代入幾個方便的 x 值（例如各根），或比較 x 的同次冪係數，建立方程組。解出該方程組即可得到所有常數的精確值。
部分分式在積分學中不可或缺。1/(x − r) 的積分是 ln|x − r|，1/(x − r)² 的積分是 −1/(x − r)，都可用初等公式直接計算。若不先分解，像 (5x − 4)/(x² − x − 2) 這樣的式子往往需要識別不明顯的代換；分解後同一式子變成 2/(x − 2) + 3/(x + 1)，每一項都能直接積分。
除了微積分之外，部分分式也常見於控制工程中求傳遞函數的拉普拉斯反變換，以取得系統的時域響應；在訊號處理中用於分析數位濾波器的 z 變換表示；以及在代數中用於進一步運算前簡化複雜有理式。掌握如何建立並求解關於未知常數的方程組是核心技能，而這個計算器會展示每一步，幫助你理解推導並建立直覺。
部分分式分解範例
以下範例展示不同的一次因子、三次分母與常數分子。
| 有理式 | 分解式 | 關鍵觀察 |
|---|---|---|
| (5x − 4) / (x² − x − 2) | 2/(x − 2) + 3/(x + 1) | 分母可分解為 (x − 2)(x + 1)。兩個不同的一次因子；用遮蓋法可得 A = 2，B = 3。 |
| (x² + 12x + 12) / (x³ − 4x) | −3/x + 2/(x − 2) + 2/(x + 2) | 分母 = x(x − 2)(x + 2)。代入 x = 0、2、−2 求常數。 |
| 1 / (x² + x) | 1/x − 1/(x + 1) | 分母 = x(x + 1)。分子為常數；由代入可得 A = 1，B = −1。 |
| (8x² − 3x + 10) / (x³ − 2x² + 4x − 8) | 3/(x − 2) + (5x + 2)/(x² + 4) | 分母 = (x − 2)(x² + 4)。一次因子 + 不可約二次因子。 |
如何使用部分分式分解計算器
- 在「分子 P(x)」欄位輸入分子多項式，使用標準記法，例如 5x - 4 或 x^2 + 3。
- 在「分母 Q(x)」欄位輸入分母多項式，例如 x^2 - x - 2。
- 確認分子的次數嚴格小於分母的次數；若不是，請先進行多項式長除法。
- 點擊「計算」。計算器會分解分母，並使用海維賽遮蓋法求出所有常數。
- 點擊「重設」可清空兩個欄位，開始新的分解。
部分分式分解常見問題
什麼是部分分式分解？
部分分式分解會把有理式 P(x)/Q(x) 改寫成若干更簡單分式的和，這些分式的分母是 Q(x) 的因子。它與通分相反，而且能讓表達式更容易積分或求反變換。
什麼時候可以使用部分分式？
當表達式是真有理函數時就可以使用部分分式——也就是分子的次數嚴格小於分母的次數。如果表達式是假分式（分子次數 ≥ 分母次數），請先做除法得到一個多項式加上一個真分式餘項，再只對餘項進行分解。
如何找出常數 A、B、C？
先把等式兩邊乘上已因式分解的分母，消去所有分式，再解這些常數。最快的方法是把各一次因子的根代入 x（每個根都會讓除對應一項外的其他項為零）。對於不可約二次因子，則展開並比較同次幂係數。
如果分母有重複因子怎麼辦？
重複的一次因子 (x − r)ⁿ 需要 n 個獨立項：A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₙ/(x − r)ⁿ。每個次方都會引入一個新的未知常數，通常需要透過展開並配對係數來求解。
為什麼不可約二次因子要用線性分子（Ax + B）？
不可約二次因子 x² + px + q 無法在實數範圍內分解為一次因子。它對應的部分分式分子必須比分母低一階，因此形式為 (Ax + B)/(x² + px + q)，其中有兩個未知常數 A 和 B。
部分分式的主要應用是什麼？
最常見的應用是微積分中的積分：像 A/(x − r) 這類簡單分式可積分為 A·ln|x − r|，讓原本困難的積分變得可處理。部分分式在工程上同樣重要，可用於求傳遞函數的拉普拉斯反變換與數位濾波器的 z 反變換。