八邊形計算器：面積、周長、內切圓半徑等
輸入任一正八邊形的邊長，即可立即計算面積、周長、內切圓半徑、外接圓半徑與對角線，並顯示完整公式。
輸入正八邊形的邊長，然後點選計算，就能一步取得所有關鍵尺寸。
八邊形計算器：面積、周長、內切圓半徑等
輸入任一正八邊形的邊長，即可立即計算面積、周長、內切圓半徑、外接圓半徑與對角線，並顯示完整公式。
關於八邊形計算器
正八邊形是八條邊長完全相等、八個內角也完全相等的多邊形。正八邊形的每個內角都正好是 135°，所有內角和為 (8−2)×180° = 1080°。八邊形也是少數能與正方形一起鋪滿平面的正多邊形之一，這一點在伊斯蘭幾何藝術與歷代地磚設計中都被廣泛運用。
只要知道一條邊長 a，就能用包含 √2 的精確代數式推得正八邊形的其他所有尺寸。面積為 2(1+√2)a²；當 a = 1 時，面積約為 4.8284 平方單位。周長就是 8a。內切圓半徑（也稱內接圓半徑）是從中心到任一邊中點的距離，等於 a(1+√2)/2。外接圓半徑是從中心到任一頂點的距離，等於 (a/2)√(4+2√2)。
八邊形有三種不同長度的對角線。短對角線連接兩個中間隔 1 個頂點的頂點（跨越兩條邊），長度為 a√(2+√2) ≈ 1.848a。中對角線連接中間隔 2 個頂點的頂點（跨越三條邊），長度為 a(1+√2) ≈ 2.414a。長對角線（直徑）連接相對頂點，長度為 a√(4+2√2) ≈ 2.613a，而且恰好等於 2R（外接圓半徑的兩倍）。本計算器會同時顯示這三種對角線。
八邊形廣泛出現在建築、工程與日常物品中。停止標誌就是正八邊形，因為它的輪廓非常醒目，即使在遠處或部分遮擋時也能輕易辨識。佛羅倫斯洗禮堂、聖瓦西里主教座堂的穹頂基座，以及蒙特堡城堡的庭院，都是著名的八邊形建築。在工程上，八邊形截面兼顧結構效率與製造便利：它比六邊形更接近圓形，同時仍然容易量測與切割。
在磁磚與鋪面設計中，八邊形加正方形的拼鋪圖案需要 1:(1+√2)² 的面積比。在木工與金工中，車床工與機械加工師常把八邊形毛坯作為把圓柱件修圓前的中間步驟。了解正八邊形邊長與外接圓半徑之間的關係，對於配置八角涼亭地基、切割八邊形鏡框或設計八邊形柱座都很重要。
本計算器使用 IEEE-754 雙精度浮點運算進行所有計算，能為任意正邊長提供精確到十位有效數字的結果。面積、周長、內切圓半徑、外接圓半徑、短對角線、中對角線與長對角線這七個輸出值，都由同一個邊長輸入直接計算得出。
八邊形範例
來自正八邊形常見應用的四個範例。
| 邊長 (a) | 面積 | 情境 |
|---|---|---|
| a = 10 | 面積 ≈ 482.843 | 邊長為 10 的標準八邊形。周長 = 80，內切圓半徑 ≈ 12.071，外接圓半徑 ≈ 13.066。可用來計算涼亭地面面積。 |
| a = 2.5 | 面積 ≈ 30.178 | 較小的八邊形，例如用於標誌設計。周長 = 20，內切圓半徑 ≈ 3.018。 |
| a = 120 | 面積 ≈ 69,529 | 邊長 120 cm 的大型建築八邊形（可視為涼亭底座）。周長 = 960 cm，外接圓半徑 ≈ 156.8 cm。 |
| a = 7.75 | 面積 ≈ 289.77 | 分數邊長，用來驗證精度。可證明計算器能正確處理非整數輸入。 |
如何使用八邊形計算器
- 在「邊長 (a)」欄位輸入正八邊形的邊長。可使用任何單位，例如 cm、公尺、英寸、英尺，結果會以相同單位顯示（面積則為該單位平方）。
- 點選「計算」。結果面板會同時顯示面積、周長、內切圓半徑、外接圓半徑、短對角線與長對角線。
- 點選「重設」即可清除輸入，重新開始新的邊長計算。
- 使用範例表下方的範例按鈕，可立即把常見邊長 10、2.5 或 120 載入計算器。
- 若要根據已知面積反推邊長，可使用下方公式：a = √(面積 / (2(1+√2)))。
八邊形計算器常見問題
正八邊形的面積公式是什麼？
邊長為 a 的正八邊形面積公式是 A = 2(1+√2)a²。若 a = 10，則有 2(1+1.41421)×100 = 2×2.41421×100 ≈ 482.84 平方單位。這個公式可透過把八邊形分成中央的一個矩形、四個邊上的矩形，以及四個角上的等腰直角三角形，再將它們的面積相加得到。
八邊形的內切圓半徑是什麼？
內切圓半徑是從八邊形中心到任一邊中點的垂直距離。對邊長 a 而言，它等於 a(1+√2)/2。內切圓半徑也是能完全放入八邊形內的最大圓半徑。它可用在任意正多邊形的另一種面積公式：A = 內切圓半徑 × 周長 / 2。
正八邊形的外接圓半徑是什麼？
外接圓半徑是從中心到 8 個頂點中任一頂點的距離。對邊長 a 而言，它等於 (a/2)√(4+2√2)。外接圓半徑是包住八邊形的最小圓半徑，而且一定大於內切圓半徑；對八邊形而言，外接圓半徑/內切圓半徑 = √(4+2√2) / (1+√2) ≈ 1.0824。
正八邊形有多少條對角線？
正八邊形共有 8(8−3)/2 = 20 條對角線。它們分為三種長度：8 條短對角線，長度為 a√(2+√2) ≈ 1.848a（連接相隔 2 個頂點的頂點）；8 條中對角線，長度為 a(1+√2) ≈ 2.414a（連接相隔 3 個頂點的頂點）；以及 4 條長對角線（直徑），長度為 a√(4+2√2) ≈ 2.613a，連接相對頂點。本計算器會列出這三種對角線。
為什麼停止標誌是八邊形？
停止標誌採用正八邊形，是因為這種形狀非常醒目——它是最常見道路標誌中唯一的八邊形——同時又足夠對稱，便於從任何方向辨認。維也納道路標誌公約規定了這種八邊形樣式，使其幾乎成為全球通用標準。即使標誌被積雪或車輛部分遮住，獨特的紅色八邊形也仍然很容易識別。
能否根據面積或周長而不是邊長來計算八邊形？
可以，只要把公式反過來即可。如果你知道周長 P，則邊長 = P/8。如果你知道面積 A，則邊長 = √(A / (2(1+√2)))。如果你知道內切圓半徑 r，則邊長 = 2r/(1+√2)。得到邊長後，把它輸入這個計算器，就能立即算出其他所有尺寸。