埃及分數計算器

埃及分數是把有理數表示為若干互不相同的單位分數之和的方式，其中單位分數是形如 1/n 的分數，n 為正整數。例如，2/3 = 1/2 + 1/6，4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20。3500 多年前的古埃及數學家只使用這種表示法。萊因德數學紙草書（約公元前 1650 年）和莫斯科數學紙草書都包含大量埃及分數分解表，抄寫員用它們進行土地、穀物和勞役等實際計算。 埃及人用一種特殊的象形符號（稱為“ro”的橢圓或口形符號）寫在整數分母上方來表示單位分數 1/n。他們只能把這些符號相加，沒有辦法寫出分子不是 1 的分數。正是這種限制推動了複雜分解表和演算法的發展。現代數學家已經證明，任何小於 1 的正有理數都可以表示為有限個互不相同的單位分數之和，因此埃及分數表示始終可行。 計算埃及分數最著名的演算法是貪心演算法，也稱斐波那契–西爾維斯特演算法。其過程如下：給定分數 p/q，先找出不超過 p/q 的最大單位分數，即取 n = ⌈q/p⌉，再用 p/q 減去 1/n 得到新分數，化簡後重複此過程，直到餘數本身就是單位分數。貪心演算法一定會終止，並且總能得到互不相同的單位分數，但它並不總能找到最短或最優雅的表示。 例如，用貪心演算法分解 2/3：⌈3/2⌉ = 2，因此減去 1/2：2/3 − 1/2 = 4/6 − 3/6 = 1/6。結果為 2/3 = 1/2 + 1/6。對於 4/5：⌈5/4⌉ = 2，減去 1/2：4/5 − 1/2 = 3/10。然後 ⌈10/3⌉ = 4，減去 1/4：3/10 − 1/4 = 6/20 − 5/20 = 1/20。結果：4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20。 埃及分數仍是數學研究的活躍領域。厄爾德什–斯特勞斯猜想（1948）指出，4/n 總可以寫成恰好三個單位分數之和——這一結論已被驗證到至少 10^14 的所有 n，但一般情形仍未證明。關於埃及分數表示中最少項數、最優表示的最大分母，以及尋找短表示的高效演算法，都是持續研究的主題。 除了純數學之外，埃及分數表示還可用於公平分配問題。把資源（如土地、時間或金錢）按整體的單位分數份額進行拆分，既直接又清晰。埃及分數也出現在某些組合遊戲的分析中，以及與完全數和調和級數相關的數論問題中。