SVD计算器

奇异值分解通常简称SVD，可将实矩阵分解为三个具有特定结构的矩阵。常用等式表示为：原矩阵等于U乘以Sigma再乘以V的转置。U和V是正交矩阵，其列向量构成相互垂直的单位方向。Sigma是对角矩阵，对角线上包含按从大到小排列的非负奇异值。本计算器可对任意二阶实矩阵进行这种分解。 计算首先将输入矩阵的转置与输入矩阵相乘，得到一个对称矩阵。除微小的浮点误差外，其特征值始终非负。特征值的平方根就是奇异值，对应的归一化特征向量构成V的各列。将原矩阵乘以每个右奇异向量，再除以对应的非零奇异值，即得到U的相应列。当奇异值为零时，计算器会以确定性方式补全标准正交基，确保显示的分解因子仍然有效。 奇异值描述矩阵沿特定方向拉伸空间的程度。如果第一个奇异值较大而第二个小得多，说明变换主要集中在一个方向。第二个奇异值为零，意味着矩阵的秩为一或零，会将平面压缩为一条直线或一个点。最大奇异值与最小非零奇异值的比值与数值条件性有关，不过本页面显示的是分解结果，而不是条件数。 SVD广泛用于最小二乘拟合、伪逆、降维、图像压缩、推荐系统、信号处理和噪声过滤。与特征值分解不同，每个实矩阵都存在SVD，且不限于对称矩阵或方阵。本第1阶段计算器有意将输入限制为二阶矩阵，以实现紧凑、透明、无依赖且输出格式可预测的计算。不过，其基本思想可直接推广至任意大小的矩形矩阵。 结果四舍五入到小数点后六位，并去掉无意义的末尾零。正交因子在数学上并不唯一：U和V中对应列的符号可以同时反转，而不改变乘积；重复奇异值还允许在子空间内进行额外旋转。因此，其他可靠的SVD程序可能给出符号或基向量不同的结果，却能重建完全相同的输入矩阵。本计算器采用一致的定向规则，使重复输入和固定示例的结果保持稳定。