模乘法逆元计算器

模 m 的乘法逆元是指在模运算中能够抵消乘法的整数。对于整数 a，逆元 x 满足：a 乘以 x 后除以 m，余数为 1。通常写作 a 乘以 x 模 m 同余于 1。例如，3 乘以 4 等于 12，12 除以 11 余 1，因此 4 是 3 模 11 的乘法逆元。 并非每一对整数都存在逆元。逆元存在的充要条件是 a 与 m 互质，即最大公约数为 1。以 6 模 9 为例：6 的任何倍数都与 9 有公因数 3，因此不可能余 1。相比之下，7 与 26 的最大公约数为 1，而 7 模 26 的逆元是 15，因为 105 除以 26 余 1。计算器会先检查最大公约数，再给出结果。 扩展欧几里得算法能够高效求出逆元。普通欧几里得算法通过反复相除并取余来求最大公约数；扩展算法同时记录系数，将最大公约数表示为原始输入的整数线性组合。当最大公约数等于 1 时，a 的系数就是一个逆元。该系数可能为负数，因此计算器会将其对 m 取模，显示从零到 m 减一之间的最小非负代表元。 模逆元让同余系统中的除法成为可能。要解 a 乘以 x 模 m 同余于 b，只需在逆元存在时，将 b 乘以 a 的逆元。模逆元广泛用于线性同余方程、中国剩余定理、模分数、哈希、检错方法以及公钥密码学。例如，RSA 密钥生成包含求指数对某个欧拉函数值的模逆元。实际密码学实现应使用经过严格审计的任意精度库，而不是普通浏览器数值。 请仅输入整数，并使用大于 1 的模数。a 可以为负数，因为每个负整数都对应一个模 m 的最小非负剩余。计算器使用 JavaScript 安全整数，适用于课堂练习和中等规模的数论问题。结果包含最大公约数与直接乘法检验，便于确认逆元确实使余数为 1。对于密码学中的超大整数，请使用专为大整数和安全敏感计算设计的软件。