两平面交线计算器
求出三维空间中两个平面交线上的点、方向向量和参数方程。
输入两个平面方程
使用 ax + by + cz + d = 0 形式的系数。
关于两平面的交线
三维空间中，两个不平行的平面相交于一条直线。本计算器接受 ax + by + cz + d = 0 标准形式的平面方程，返回交线上的一个点、一个方向向量及向量参数方程。四个系数描述各平面的方向与偏移。将一个方程的所有系数同时乘以同一个非零数，不会改变该平面。
交线方向由两个平面法向量的叉积确定。方程为 ax + by + cz + d = 0 的平面具有法向量 (a, b, c)。同时垂直于两个法向量的向量必然平行于两个平面，因此 n1 与 n2 的叉积给出有效的交线方向。计算器随后固定一个坐标，联立求解剩余两个方程，找出交线上一个便于表示的点。显示的方向向量乘以任何非零标量，都代表同一条几何直线；使用不同的点也可能表示同一个答案。
如果叉积为零向量，说明两个法向量平行。此时，两个平面要么不重合且永不相交，要么重合并共有无穷多条直线。这两种情况都没有唯一交线，因此计算器会提示这一情况，而不是生成不存在的结果。对于非常小的数值，计算器会谨慎处理，避免浮点运算导致负零显示。
交线广泛应用于解析几何、计算机图形学、CAD、结构建模和多元微积分。将显示的点代入两个原始方程即可验证结果。也可以在该点上加上方向向量的任意倍数，得到的每组三维坐标都应满足两个平面方程。参数形式尤其适合求点、判断与其他对象的交点，或在所有方向分量均非零时转换为对称式。
示例
以下平面对展示常见的相交情况。
| 平面方程 | 交线 | 验证 |
|---|---|---|
| x + y + z - 1 = 0; x - y + z - 1 = 0 | r = (0, 0, 1) + t(2, 0, -2) | 交线上各点使两个方程的左边都等于零。 |
| x + y - 2 = 0; z - 3 = 0 | r = (2, 0, 3) + t(1, -1, 0) | 交线始终位于水平面 z = 3 内。 |
| x = 0; y = 0 | r = (0, 0, 0) + t(0, 0, 1) | 两个坐标平面相交于 z 轴。 |
如何使用计算器
- 将每个平面方程的所有项移至左边，使右边为零。
- 输入平面 1 的 x、y、z 系数及常数项。
- 输入平面 2 对应的四个系数。
- 选择“计算交线”，获取点、方向向量和参数方程。
常见问题
方向向量是如何求出的？
计算器求两个法向量的叉积。结果同时垂直于两个法向量，因此平行于两个平面。
为什么我的答案可能与另一个正确答案不同？
一条直线上有无穷多个点，其方向向量也可以乘以任意非零标量。因此，形式不同的参数方程可能描述完全相同的直线。
如果两个平面平行，会怎样？
平行法向量的叉积为零，无法计算唯一方向。不重合的平行平面永不相交，而重合平面共有无穷多条直线。
如何验证结果？
将显示的点代入两个平面方程，确认每个表达式都等于零。然后检查各平面法向量与方向向量的点积是否为零。
系数 d 必须为负数吗？
不必，d 可以为正数、负数或零。只需按 ax + by + cz + d = 0 的形式准确输入方程。