Calculadora de pseudoinversa

A pseudoinversa de Moore-Penrose estende a ideia de matriz inversa a matrizes retangulares e a sistemas que não têm uma inversa comum única. Ela é escrita A+ e é a única matriz que satisfaz quatro condições de consistência envolvendo A, A+ e suas transpostas. Para uma matriz quadrada invertível, a pseudoinversa é exatamente a inversa comum. Para uma matriz alta ou larga de posto completo, fornece a transformação análoga à inversa necessária em cálculos de mínimos quadrados e norma mínima. Esta calculadora aceita uma matriz escrita linha por linha. Separe os elementos com vírgulas ou espaços e as linhas com ponto e vírgula. Para uma matriz com pelo menos tantas linhas quanto colunas e colunas independentes, calcula a inversa de (A transposta A) multiplicada por A transposta. Para uma matriz com mais colunas que linhas e linhas independentes, calcula A transposta multiplicada pela inversa de (A A transposta). Ambas são formas padrão de posto completo da inversa de Moore-Penrose. A inversa quadrada necessária é obtida por eliminação de Gauss-Jordan com pivoteamento. Uma aplicação comum é um sistema linear sobredeterminado A x = b, com mais equações que incógnitas e sem vetor que satisfaça todas exatamente. Multiplicar b por A+ retorna a solução de mínimos quadrados que minimiza o resíduo quadrático. Em um sistema subdeterminado com posto completo nas linhas, A+ retorna a solução exata de menor norma euclidiana. Essas propriedades tornam a pseudoinversa útil em regressão, processamento de sinais, controle, robótica, otimização numérica, ajuste de dados e aprendizado de máquina. O posto é importante. As fórmulas convenientes das equações normais exigem colunas ou linhas independentes. Uma matriz de posto deficiente torna A transposta A ou A A transposta singular; por isso, esta implementação informa a limitação em vez de retornar um valor instável. Uma decomposição em valores singulares geral pode tratar a deficiência de posto invertendo apenas valores singulares acima de uma tolerância numérica. Para problemas grandes, mal condicionados ou de posto deficiente, use uma biblioteca numérica especializada com rotina baseada em SVD e confira suas tolerâncias. A aritmética de ponto flutuante também afeta os resultados. Os elementos exibidos são arredondados para seis casas decimais, enquanto os cálculos mantêm a precisão dupla do JavaScript. Grandes diferenças de escala podem amplificar erros de arredondamento porque as equações normais elevam o número de condição ao quadrado. Reescalonar colunas pode ajudar, mas o trabalho numérico profissional deve priorizar QR ou SVD. Para exemplos didáticos e matrizes pequenas de posto completo, esta calculadora permite calcular e examinar a pseudoinversa sem realizar manualmente várias multiplicações e etapas de eliminação.