残差計算機 - 線形回帰残差

残差とは、観測値と統計モデルが予測した値との差です。単回帰では、観測 i に対する残差は e_i = y_i − ŷ_i と定義されます。ここで y_i は実際の観測値、ŷ_i は最小二乗回帰直線 ŷ = b₀ + b₁x による予測値です。 最小二乗法（OLS）は、残差平方和（SSE = Σe_i²）を最小にする回帰直線を求めます。このツールは標準的な式を使って、傾き（b₁）と切片（b₀）を計算します。b₁ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²、b₀ = ȳ − b₁x̄ です。 残差分析は回帰診断の基本です。モデルを当てはめた後は、重要な仮定を確認するために残差を調べます。線形性（x に対してプロットした残差に系統的なパターンがないこと）、等分散性（残差の分散がほぼ一定であること）、独立性（残差に自己相関がないこと）、正規性（残差がおおむね正規分布に従うこと）です。 残差プロット、つまり残差を予測値または独立変数に対して散布図にしたものは、主要な診断ツールです。残差が 0 の周りにランダムに散らばり、パターンが見られなければ、線形モデルは適切です。U 字型のような系統的パターンは非線形性を示し、漏斗形は不均一分散を示し、まとまりは影響の大きい観測値や外れ値の存在を示唆します。 決定係数 R² は、y の分散のうち x でどれだけ説明できるかを表します。R² は 0（まったく説明できない）から 1（完全一致）までの値を取ります。計算式は 1 − SSE/SST で、SST = Σ(yᵢ − ȳ)² です。 この計算機は、回帰を学ぶ学生、素早くデータ品質を確認したい分析担当者、より複雑なモデリングに進む前にモデル適合を検証したい研究者に最適です。結果には、回帰方程式、各点の残差表、SSE の合計、R² が含まれ、すぐに解釈できます。