残差計算機 - 線形回帰の残差

残差とは、観測値と統計モデルが予測した値との差です。単回帰の文脈では、観測 i の残差は e_i = y_i − ŷ_i と定義されます。ここで y_i は実際の観測値、ŷ_i は最小二乗回帰直線 ŷ = b₀ + b₁x による予測値です。 最小二乗法（OLS）は、残差平方和を最小化する回帰直線を求めます（SSE = Σe_i²）。このツールでは、標準的な式 b₁ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)² と b₀ = ȳ − b₁x̄ を使って、傾き（b₁）と切片（b₀）を計算します。 残差分析は回帰診断の基本です。モデルを当てはめた後は、残差を確認して主要な仮定を検証します。すなわち、線形性（x に対して残差に系統的なパターンがないこと）、等分散性（残差の分散がほぼ一定であること）、独立性（残差に自己相関がないこと）、正規性（残差が概ね正規分布に従うこと）です。 残差プロット――残差を予測値または独立変数に対して描いた散布図――は、主要な診断手法です。残差が 0 の周りにランダムに散らばり、パターンが見られなければ、線形モデルは適切だと考えられます。U 字型のような系統的パターンは非線形性、漏斗形は不均一分散、クラスターは影響の大きい観測値や外れ値の存在を示します。 決定係数 R² は、y の分散のうち x で説明できる割合を表します。R² は 0（モデルが分散を全く説明しない）から 1（完全一致）までの値をとります。計算式は 1 − SSE/SST で、SST = Σ(yᵢ − ȳ)² です。 この計算機は、回帰を学ぶ学生、データ品質を手早く確認したい分析者、より複雑なモデリングに進む前に適合度を検証したい研究者に最適です。結果には、回帰式、各点の残差表、総 SSE、R² が含まれ、すぐに解釈できます。