ワイブル分布計算機 - PDF、CDF、信頼性

ワイブル分布は、1951 年に材料強度と疲労のモデル化に用いたスウェーデンの技術者・数学者 Waloddi Weibull にちなんで名付けられた連続確率分布です。現在では、信頼性工学、生存分析、風速モデリング、極値理論において最も重要な分布の一つです。形状パラメータ k によって、増加・一定・減少の故障率を単一の柔軟な分布族で表現できるからです。 この分布は 2 つのパラメータで定義されます。形状パラメータ k（β と書かれることもあります）は、故障率が時間とともに増加するか、減少するか、一定かを決めます。k > 1 では故障率が時間とともに増加し、使用によって劣化する機械部品の摩耗故障を表します。k = 1 ではワイブル分布は故障率一定の指数分布に正確に一致し、電子部品のような背景率一定のランダム故障を表します。k < 1 では故障率が時間とともに減少し、不良品が早期に故障して、残った個体ほど信頼性が高くなる初期故障を表します。尺度パラメータ λ（η と書かれることもあります）は特性寿命です。x = λ で CDF は k にかかわらず 1 − e⁻¹ ≈ 63.2% になります。 確率密度関数（PDF）f(x) は、ちょうど時刻 x で故障が起こる相対的な起こりやすさを示します。累積分布関数（CDF）F(x) は、時刻 x までに故障している確率を示し、これは非信頼性とも呼ばれます。信頼性関数 R(x) = 1 − F(x) は、時刻 x を超えて生存する確率を示し、保証や保全計画の主要指標です。ハザード率 h(x) = f(x) / R(x) は、その時点まで生存しているという条件付きでの時刻 x における瞬間故障率で、工学では死亡力やハザード関数と呼ばれます。 ワイブル分布の平均は λ · Γ(1 + 1/k) で、Γ はガンマ関数です。中央値は λ · (ln 2)^(1/k) です。最頻値（最も起こりやすい故障時刻）は、k > 1 のとき λ · ((k−1)/k)^(1/k)、k ≤ 1 のとき 0 です。分散は λ² · [Γ(1 + 2/k) − (Γ(1 + 1/k))²] です。 ワイブル解析は、設備保全計画、航空機部品認証、風力エネルギー資源評価、地震再来期間の推定、がん生存研究などで使われます。この計算機はガンマ関数に Lanczos 近似を用い、広いパラメータ範囲で高い数値精度を保ちながら、標準的なワイブル計算を一度で実行します。