指数分布計算器
指数分布の PDF、CDF、統計量を計算します。
速度パラメータ λ と値 x を入力して、指数分布の確率と統計量を求めます。
指数分布計算器
指数分布の PDF、CDF、統計量を計算します。
指数分布計算器について
指数分布は、ポアソン過程における事象間の待ち時間を表す連続確率分布です。ポアソン過程とは、事象が一定の平均率で連続的かつ独立に起こる過程を指します。指数分布は λ（ラムダ）という 1 つのパラメータで特徴づけられ、これは速度パラメータと呼ばれ、単位時間あたりの平均事象数に相当します。事象間の平均待ち時間は 1/λ です。
確率密度関数（PDF）は x ≥ 0 に対して f(x) = λe^(−λx) です。累積分布関数（CDF）は F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx) で、次の事象が x 以下の時刻に起こる確率を表します。生存関数 P(X > x) = e^(−λx) は、時刻 x までに事象がまだ起きていない確率です。
指数分布には「無記憶性」という重要な性質があります。P(X > s + t | X > s) = P(X > t) で表され、すでに s だけ待っても事象が起きていないなら、さらに t 待つ確率は最初から待つ場合と同じです。連続分布の中でこの性質を持つのは指数分布だけで、老化や劣化のないシステムのモデリングに特に適しています。
指数分布の統計量はすべて λ で表せます。平均 = 1/λ、分散 = 1/λ²、標準偏差 = 1/λ、中央値 = ln(2)/λ ≈ 0.693/λ です。平均が中央値より大きいのは、分布が右に歪んでいるためです。
実世界での応用は多岐にわたります。信頼性工学では、摩耗しない電子部品（特定のトランジスタなど）の寿命を表します。待ち行列理論では到着間隔やサービス時間を記述します。核物理では放射性崩壊が指数分布に従います。通信分野では、連続するパケット到着間の時間をモデル化します。金融では、簡略化したモデルで取引や信用イベント間の時間を近似します。
例
これらの例は、指数分布が実用場面でどのように現れるかを示しています。
| パラメータ | 確率 | シナリオ |
|---|---|---|
| λ = 2 per min, x = 0.5 min | P(X < 0.5) ≈ 0.6321 | 顧客対応の電話は 1 分あたり 2 件到着。30 秒以内に次の電話が来る確率は 63% |
| λ = 0.0005 per hr, x = 2500 hr | P(X ≥ 2500) ≈ 0.2865 | 平均寿命 2000 時間の電球。2500 時間を超えて持つ確率は 29% |
| λ = 0.1 per sec, x = 5 sec | f(5) ≈ 0.0607 | 放射性崩壊の PDF をちょうど 5 秒で評価 |
| λ = 0.1 per min, x = 15 min | P(X > 15) ≈ 0.2231 | バスは平均 10 分おきに到着。15 分以上待つ確率は 22% |
使い方
- 速度パラメータ λ（ラムダ）を入力します。これは単位時間あたりの平均事象数です。平均到着時間が 10 分なら、λ = 1/10 = 0.1 です。
- 値 x を入力します。これは分布を評価したい具体的な時刻（または距離、その他の量）です。
- 計算タイプを選択します。PDF は x における確率密度、CDF は累積確率です。
- ［計算する］をクリックすると、選択した確率とともに、平均、中央値、分散、標準偏差が表示されます。
- クイック読み込みボタンを使って、指数分布の代表的な実例を確認できます。
よくある質問
速度パラメータ λ とは何ですか？
速度パラメータ λ（ラムダ）は、単位時間（または距離、空間）あたりに起こる平均事象数です。たとえば、顧客が 1 時間に 3 人到着するなら λ = 3/時で、平均到着間隔は 1/λ = 20 分です。λ が大きいほど事象は頻繁に起こり、分布は 0 付近に集中します。
PDF と CDF の違いは何ですか？
PDF f(x) = λe^(−λx) は特定の点 x における確率密度を表します。これは確率そのものではなく、x の単位あたりの確率の強さです。CDF F(x) = P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx) は、確率変数が x 以下である確率を表し、0 から 1 の間の真の確率です。連続分布では、ちょうどその点にある確率は 0 で、確率は区間に対してのみ定義されます。
無記憶性とは何ですか？
無記憶性とは P(X > s + t | X > s) = P(X > t) という性質です。すでに s だけ待って事象が起きていないなら、さらに t 待つ確率は、最初から t 待つ確率と同じです。実務上は、1000 時間動作した電球が次の 1 時間で故障する確率は、新品の電球と同じということです。連続分布の中でこの性質を持つのは指数分布だけです。
なぜ平均は中央値より大きいのですか？
指数分布の平均は 1/λ、中央値は ln(2)/λ ≈ 0.693/λ です。中央値が小さいのは、分布が右に歪んでいて、大きな値の長い尾が平均を押し上げるためです。観測値の半数以上は平均を下回るのが、正の歪みを持つ分布の特徴です。これは信頼性解析で重要で、典型的な故障時刻は平均ではなく中央値で見ることが多いです。
指数分布は寿命データを表せますか？
指数分布は、故障率が一定の部品に適しています。つまり、時間とともに摩耗せず、疲労や老化の影響を受けない対象です。これは一部の電子部品やソフトウェア障害には妥当なモデルです。ただし、摩耗する部品（機械部品や人の寿命など）には、形状パラメータが 1 ではない Weibull 分布の方が適切です。
経験データから λ を求めるには？
観測データ x₁, x₂, …, xₙ からの λ の最尤推定値は、標本平均の逆数です。つまり λ̂ = n / Σxᵢ = 1 / x̄ です。これは直感的にも自然です。たとえばイベントが平均 5 分ごとに起こる（平均 = 5）なら、速度は λ = 1/5 = 0.2/分です。指数分布への適合は Q-Q プロットや適合度検定で確認できます。