Rayleigh 分布計算機 - PDF、CDF、統計量

Rayleigh 分布は、非負の確率変数に対する連続確率分布で、もともとは Lord Rayleigh が音波の振幅を扱う文脈で導出しました。分布は 1 つのパラメータ σ（尺度パラメータ）のみで決まり、σ は分布の最頻値——最も起こりやすい値——であると同時に、分布全体の広がりを左右します。 確率密度関数（PDF）は x ≥ 0 に対して f(x; σ) = (x/σ²) · exp(−x²/(2σ²)) です。曲線は x = 0 で 0 から始まり、x = σ でピークに達したあと、0 に向かって徐々に減少します。累積分布関数（CDF）は F(x; σ) = 1 − exp(−x²/(2σ²)) で、ランダムな観測値が x 以下になる確率を表します。補完 CDF（CCDF = 1 − CDF）は、観測値が x を厳密に上回る確率を示し、信頼性工学や通信工学で重要な生存関数として使われます。 Rayleigh 分布は、形状パラメータ k = 2 の 2 パラメータ Weibull 分布の特殊ケースです。また正規分布とも深い関係があります。独立な 2 つの確率変数 X と Y がそれぞれ平均 0、分散 σ² の正規分布に従うなら、ベクトルの大きさ R = √(X² + Y²) は尺度パラメータ σ の Rayleigh 分布に従います。この幾何学的な解釈により、2 次元のランダムベクトルの振幅を表す自然なモデルになります。 無線通信では、Rayleigh フェージングモデルが、散乱体が多く支配的な直達経路がない環境での電波伝搬を表します。送信信号が受信機に届くまでに建物、車両、地形で反射すると、受信信号の包絡線は Rayleigh 分布に従います。エンジニアはこのモデルを使ってリンクバジェットを計算し、アウトेज確率を求め、誤り訂正符号を設計します。σ は信号測定から推定され、システムレベルのシミュレーションに直接使われます。 海洋学や気象学では、この分布をある地点の有義波高や最大風速のモデルとして使います。過去データに対して σ を当てはめることで、たとえば 50 年に一度の暴風時に波高が安全基準を超える確率のような、極端事象の発生確率を見積もれます。同様の用途は、海洋プラットフォーム設計、沿岸洪水のモデリング、風力タービンの立地選定にもあります。 信頼性工学では、Rayleigh 分布は複数の独立したストレス要因による累積損傷を受ける部品の寿命分布として使われます。指数分布とは異なり、Rayleigh のハザード率は時間に対して線形に増加します（h(t) = t/σ²）。つまり古い部品ほど故障率が高くなり、金属疲労や腐食のような摩耗メカニズムにより現実的です。 主な統計量は、平均 = σ√(π/2) ≈ 1.2533σ、中央値 = σ√(2 ln 2) ≈ 1.1774σ、最頻値 = σ、分散 = (4 − π)/2 · σ² ≈ 0.4292σ² です。平均は常に最頻値より大きく、分布の右裾の長さを反映します。分散は σ の 2 乗に比例して増えるため、σ を 2 倍にすると広がりは 4 倍になります。