コイントス連勝計算機：連続表裏

連勝（run）とは、同じ結果が連続する並びのことです。最も基本的な例は、公平なコインを投げて k 回連続で表が出る場合です。見た目は単純でも、連勝の数学は確率論の中でも意外に深い結果を含んでおり、スポーツ分析から金融リスクのモデリングまで幅広く応用されています。 n 回のコイントスの中で、どこかで k 連続の表が少なくとも 1 回起こる確率は、単純な二項式では求められません。各時点で連勝の完成にどれだけ近いかを追跡する必要があり、これは動的計画法に非常に適しています。この計算機はまさにその方法を使っています。現在までに何回連続で表が出ているかという状態ごとの確率分布を保持し、新しいトスごとに更新し、n 回後に「連勝完了」状態へ吸収された確率を合計します。 公平なコイン（p = 0.5）で k 連続の表が最初に出るまでの期待トス回数には、美しい閉形式があります：E_k = 2(2^k − 1)。k = 1 なら最初の表までの平均は 2 回で、幾何分布の E = 1/0.5 = 2 と一致します。3 連続の表なら期待回数は 2(2^3 − 1) = 14 回です。k = 10 になると、期待回数はすでに 2,046 回に達し、長い連勝が直感以上に珍しいことがわかります。 「どちらでも可」の連勝（表でも裏でも、同じ面が k 回連続）では、期待トス回数は 2^k − 1 です。最初のトスの結果がどちらであっても、その方向の潜在的な連勝が始まるため、こちらの方が短くなります。k = 3 なら平均待ち時間は 7 回で、表のみの 14 回の半分です。直感的には、連勝はどちらの方向にも成立しうるので、機会が実質的に倍になるからです。 連勝の計算は多くの実用場面で役立ちます。スポーツでは、バスケットボール選手が直近 5 本を連続で決めると「絶好調」と言われます。この「ホットハンド」現象の統計研究では、実際の相関が一部存在する一方で、観客が連勝らしさとして感じるものの多くは、単なるランダム過程の自然なかたまりにすぎないことが示されています。金融では、市場に 5 年連続で勝つ投資信託は印象的ですが、何千本ものファンドがあれば、能力差がないという帰無仮説の下で統計的には起こり得ます。連勝計算機は、与えられた機会回数に対して、観測された成功の連なりがどれほど意外かを判断する助けになります。 ギャンブルでは、連勝確率を理解することで現実的な期待値を持てます。100 回のトスで 10 連続の表が出る確率は約 4.4% で、多くの人が想像するより低い値です。1,000 回のトスで 20 連続の表が出る確率は約 0.05% しかなく、試行回数が多くても本当にまれです。 この計算機は 1〜100 の連勝長と、確率モードで最大 100,000 回のトスに対応しており、授業の練習から大規模なシミュレーション研究まで幅広く使えます。