一様分布計算機 - PDF、CDF、平均値
任意の連続一様分布の確率密度関数、累積分布関数、平均、分散、区間確率を計算します。
最小値 a と最大値 b を入力してください。必要に応じて、CDF 用の点 x、または区間確率用の下限 x1 / 上限 x2 も入力できます。
一様分布計算機 - PDF、CDF、平均値
任意の連続一様分布の確率密度関数、累積分布関数、平均、分散、区間確率を計算します。
任意 — x を入力すると P(X ≤ x) を計算します。
任意 — x1 と x2 の両方を入力すると P(x1 ≤ X ≤ x2) を計算します。
一様分布について
連続一様分布は、矩形分布と呼ばれることもあり、区間 [a, b] の中でどの値も等しい確率で現れる状況を表します。これは最も単純な連続確率分布であり、範囲内のすべての結果が同様に起こりうる現象の典型モデルです。たとえば、バスが予定時刻のどこかで到着する場合の正確な瞬間や、ランダムな時刻に止めたルーレットの着地点などが挙げられます。
一様分布の確率密度関数（PDF）は区間内で一定です。a ≤ x ≤ b のとき f(x) = 1/(b − a)、それ以外では 0 です。PDF の下の総面積は 1 でなければならず、形が平らな長方形になるため、その高さは幅の逆数になります。したがって、PDF はとても直感的です。同じ幅の部分区間なら、[a, b] のどこにあっても確率は同じです。
累積分布関数（CDF）は、ランダムな観測値がある特定の値 x 以下になる確率を示します。一様分布では、a ≤ x ≤ b のとき F(x) = (x − a)/(b − a) です。x が a から b に移動するにつれて 0 から 1 まで直線的に増加し、区間に沿って確率が着実に蓄積される様子を表します。値が区間 [x1, x2] に入る確率を求めるには、P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a) と差を取るだけです。つまり、部分区間の幅を全体の幅で割ったものです。
一様分布の平均値（期待値）は区間の中点です。E[X] = (a + b)/2 となります。これは直感的にも自然で、すべての値が同じ確率なら平均はちょうど真ん中になります。分散は平均からの二乗偏差の平均を表し、(b − a)² / 12 に等しくなります。区間が広いほど分散は大きくなり、結果がどこに落ちるかについての不確実性が高くなることを示します。
一様分布は、シミュレーション、モンテカルロ法、乱数生成の出発点や基準として広く使われます。擬似乱数生成器は通常、[0, 1] 上の一様乱数を生成し、その後逆 CDF 法で別の分布に変換します。ベイズ統計では、一様事前分布は既知の範囲内でパラメータについて完全に知らない状態を表します。信頼性工学やスケジューリングでは、範囲だけが分かっていて正確な時刻が分からない到着時刻や故障時刻のモデル化に使われます。
一様分布を理解すると、より複雑な連続分布を学ぶための基礎にもなります。その単純さは、正規分布、指数分布、ベータ分布を導入する前に、PDF、CDF、期待値、分散の概念を学ぶのに最適です。
一様分布の例
よくある場面を一様分布の式で計算した例です。
| パラメータ | 主要指標 | 用途 |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | 標準一様分布 U(0,1)。すべての擬似乱数生成器と逆 CDF 変換法の基礎です。 |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | バスが 2 分から 10 分の間に一様に到着する場合。平均待ち時間は 6 分で、分散は (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333 です。 |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | 1 時間の中のランダムな 1 分。20 分目から 40 分目の間に入る確率は (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333 です。 |
一様分布計算機の使い方
- 最初の欄に最小値 a、2 つ目の欄に最大値 b を入力します。b は a より厳密に大きくしてください。
- 計算をクリックすると、その分布の PDF、平均値、分散、標準偏差がすぐに表示されます。
- 必要に応じて CDF 欄に x を入力すると、P(X ≤ x)、つまり確率変数が x 以下になる確率を計算できます。
- 必要に応じて x1 と x2 の両方を入力すると、区間確率 P(x1 ≤ X ≤ x2) を計算できます。
- リセットをクリックするとすべての欄がクリアされ、新しい計算を始められます。
一様分布のよくある質問
一様分布は何に使いますか？
一様分布は、範囲内のどの結果も同じ確率で起こる状況を表すために使います。主な用途には、乱数生成、シミュレーション研究、ベイズ統計の非情報的事前分布、そして可能な値の範囲だけが分かっている場合のスケジューリングや到着時刻モデルなどがあります。
区間の確率はどう計算しますか？
[a, b] 上の一様分布では、値が [x1, x2] に入る確率は単純に (x2 − x1) / (b − a) です。これは部分区間の幅が全体の範囲に対して占める割合に比例しており、平らな PDF を反映しています。
一様分布の PDF と CDF の違いは何ですか？
PDF は単一点での密度を表し、[a, b] の中のどの点でも 1/(b−a) です。CDF はある点 x までの累積確率を表し、(x−a)/(b−a) になります。連続分布では、確率は個々の点ではなく区間に対してのみ意味を持ちます。
なぜ分散は (b−a)²/12 なのですか？
分散は、[a, b] 上で (x − 平均値)² × f(x) を積分して求めます。ここで f(x) = 1/(b−a) です。計算を簡単にすると (b−a)²/12 になります。区間が広いほど値は平均から広く散らばるため、分散は幅の二乗に比例して大きくなります。
一様分布は等確率の結果と同じですか？
連続確率変数については、はい。その意味では、一様分布は公平なサイコロやランダム抽選の連続版です。等しい長さの部分区間はどれも同じ確率を持ちます。ただし連続の場合、個々の点の確率は 0 で、非ゼロなのは区間の確率だけです。
標準一様分布 U(0,1) は他の分布とどう関係しますか？
標準一様分布 U(0,1) は、任意の連続分布を生成するための基本要素です。U が [0,1] 上の一様分布に従い、F が目標分布の CDF なら、F⁻¹(U) はその目標分布に従います。この逆変換法は、ほとんどの乱数サンプリングアルゴリズムの基礎です。