標本比率の抽出分布計算機

標本比率の抽出分布は、母集団の真の比率が p であるとき、固定サイズ n のあらゆる無作為標本から得られる標本比率 (p̂) の取り得る値の範囲を表す理論分布です。推測統計の最も基本的な概念の一つであり、調査手法、仮説検定、信頼区間の構築の多くを支えています。 抽出分布の平均は母比率 p に等しくなります。これは不偏性を意味し、平均的には標本比率が推定対象の母数と一致するという性質です。抽出分布の標準偏差は比率の標準誤差と呼ばれ、σ(p̂) = √[p(1–p)/n] で求めます。標本サイズ n が大きくなるほど標準誤差は小さくなり、標本比率は真の値 p の周辺により強く集中します。 中心極限定理によれば、np ≥ 10 かつ n(1–p) ≥ 10 の 2 条件を満たすとき、抽出分布はおおむね正規分布で近似できます。これは、標本中の「成功」と「失敗」の数が十分に大きく、正規近似が信頼できることを保証します。いずれか一方でも満たさない場合、特に標本が小さいか比率が 0 や 1 に極端に近い場合は、二項分布を使うべきです。 具体的な観測標本比率 p̂ を入力すると、計算機は Z スコアを求めます。これは p̂ が平均から標準誤差何個分離れているかを表し、Z = (p̂ – p) / σ(p̂) で計算します。絶対値の大きい Z スコアは、仮定した母比率のもとでは観測された標本比率が偶然に生じにくいことを示し、仮説検定の基礎になります。 累積確率 P(p̂ < x) は、指定した母集団からサイズ n の標本を無作為抽出したとき、x 以下の標本比率が得られる確率を表します。補完確率 P(p̂ > x) は、x を超える比率が得られる確率です。これらを合わせることで、観測した標本比率が理論分布に対してどれほど極端かを判断できます。 この概念は、世論調査（候補者の真の支持率がしきい値を上回る確率の推定）、品質管理（ロットの欠陥率が許容基準を超えるかの判定）、医療研究（治療への反応割合が過去の基準と異なるかの評価）などに広く使われています。