有限小数計算機

有限小数とは、小数点以下の桁数が有限で確定している小数です。例として 0.5、0.75、0.125、3.25 があります。一方、0.333… や 0.142857142857… のような循環小数は無限に続きます。どちらも有理数であり、それぞれ分数として表せますが、有限桁の小数表記で正確に表せるのは有限小数だけです。 どの分数が有限小数になるかを決める規則は非常に簡潔で、十進法の構造から直接導かれます。任意の小数は、分母が 10 の累乗（10、100、1000、…）である分数と考えられます。分数 p/q は、既約分数にしたとき分母 q の素因数が 2 と 5 以外に存在しない場合に限り、有限小数になります。これは、10 の任意の累乗の素因数が 2 と 5 だけであり、分母がこの 2 つの素数だけを含む場合に限って、分数を 10 の累乗を分母とする同値な分数へ変換できるためです。 この計算機のアルゴリズムは 3 段階です。まず、分子と分母の最大公約数（GCD）を求め、それで両方を割って既約分数にします。次に、約分後の分母を素因数分解します。最後に、すべての素因数が 2 または 5 であるかを確認します。そうであれば分数は有限小数になり、ほかの素数（3、7、11、13、…）が現れれば循環します。 例として、分数 7/20 の分母は 20 = 2² × 5 です。素因数が 2 と 5 だけなので、7/20 は有限小数です。7/20 = 35/100 であるため、小数値は 0.35 です。一方、1/6 の分母は 6 = 2 × 3 です。因数 3 が含まれているため、1/6 は 10 の累乗を分母とする形に表せず、0.1666… のように循環します。 重要な注意点は約分の役割です。たとえば 6/30 は一見複雑ですが、最大公約数 6 で約分すると 1/5 になり、分母は 5 だけなので有限小数です。同様に、2/12 は 1/6 に約分され、これは循環します。そのため、この計算機は分母の素因数を調べる前に必ず分数を約分します。 分母の大きさは、小数が有限になるかどうかとは関係ありません。1/1024 は 1024 = 2¹⁰ なので、1024 がかなり大きくても有限小数になります。一方、1/3 は 3 が 2 でも 5 でもない素数であるため、3 が小さくても循環します。重要なのは素因数の性質であり、その大きさではありません。