余弦定理計算機 - 任意の三角形を解く (SAS/SSS)

余弦定理で任意の三角形を解きます。SAS なら未知の辺、SSS なら未知の角を求められます。

未知の辺（SAS）を求めるか、未知の角（SSS）を求めるかを選び、既知の値を入力すると、すぐに結果が表示されます。

余弦定理計算機 - 任意の三角形を解く (SAS/SSS)
余弦定理で任意の三角形を解きます。SAS なら未知の辺、SSS なら未知の角を求められます。

余弦定理の例

SAS と SSS の代表的な 4 例です。鈍角三角形も含みます。

既知の値結果構成
a=5, b=7, C=45° (SAS)c ≈ 4.950c² = 25 + 49 − 2(5)(7)cos(45°) = 74 − 49.497 ≈ 24.503、c ≈ 4.950。
a=8, b=6, c=10 (SSS)C = 90°cos(C) = (64+36−100)/(2×48) = 0/96 = 0 なので、C = arccos(0) = 90°（直角三角形）です。
a=10, b=12, C=120° (SAS, obtuse)c ≈ 19.08c² = 100+144−2(10)(12)cos(120°) = 244+120 = 364、c = √364 ≈ 19.08。
a=9, b=9, c=6 (SSS, isosceles)C ≈ 38.94°cos(C) = (81+81−36)/(2×81) = 126/162 ≈ 0.7778、C = arccos(0.7778) ≈ 38.94°。

余弦定理計算機について

余弦定理は三角法の基本定理で、直角三角形だけでなく、あらゆる三角形にピタゴラスの定理を拡張したものです。三角形の辺 a、b、c がそれぞれ角 A、B、C の対辺であるとき、定理は c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C) となります。角 C = 90° のときは cos(C) = 0 となり、式はおなじみのピタゴラスの定理 c² = a² + b² に戻ります。 余弦定理は主に 2 つの形で使われます。SAS（2 辺とその間の角）の場合は、2 辺とその間の角が分かっていて、残り 1 辺を求めます。SSS（3 辺）の場合は、3 辺が分かっていて、1 つの角を求めます。式を変形すると、SSS では cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) となり、その値の逆余弦を取ることで C が求まります。 余弦定理は正弦定理とも密接に関係していますが、正弦定理を直接使えない場面で有効です。正弦定理は AAS/ASA（2 角と 1 辺）または SSA（2 辺とその間ではない角、しかも曖昧な場合あり）を前提にします。一方、余弦定理は SAS と SSS を曖昧さなく処理でき、入力が実際の三角形を作る限り一意の解が得られます。 実用面では、測量、航法、建築、工学、物理などで広く使われます。測量では、直接測れない 2 点間の距離を求めるのに使われます。航法ソフトでは同じ式の球面版を使って、2 つの GPS 座標間の方位と距離を計算します。構造工学では、三角形の形状に依存するトラス部材の力を求めます。コンピュータグラフィックスでも、メッシュの辺同士の角度を求めるために使われます。 鈍角三角形では 90° を超える角の余弦が負になるため、c² > a² + b² となります。余弦定理は正の余弦値と負の余弦値の両方を扱えるので、この状況も自然に処理できます。これは直角を前提にするより単純な方法に対する利点の 1 つです。 この計算機は SAS と SSS の両方に対応しています。SAS では、辺 a と b、そしてその間の角 C を入力すると、辺 c を計算します。SSS では、3 辺 a、b、c を入力すると、角 C を計算します。結果には使用した式も表示されるので、手計算で確認できます。

余弦定理計算機の使い方

  1. 計算モードを選びます。2 辺とその間の角が分かっているなら「辺を求める（SAS）」、3 辺が分かっているなら「角を求める（SSS）」を選びます。
  2. SAS では、辺 a と b の長さ、そしてその間の角 C（度数法）を入力します。
  3. SSS では、3 辺 a、b、c の長さを入力します。
  4. 「計算」をクリックすると、余弦定理が適用され、未知の辺または角が表示されます。
  5. 「リセット」をクリックすると、すべての欄が消去され、別の三角形を解けます。

よくある質問

余弦定理とは何ですか？
余弦定理は、辺 a、b、c と対角 A、B、C をもつ任意の三角形について c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C) が成り立つ、という定理です。直角三角形以外にもピタゴラスの定理を拡張し、余弦項が直角からのずれを補正します。C = 90° のときは cos(C) = 0 となり、なじみのあるピタゴラスの定理が得られます。
正弦定理ではなく余弦定理を使うのはどんなときですか？
SAS（2 辺とその間の角）または SSS（3 辺）のときに余弦定理を使います。AAS と ASA では正弦定理の方が適しています。SSA では正弦定理も使えますが、曖昧な場合があります。余弦定理なら二次方程式として扱えるためその曖昧さを避けられますが、1 つの解は余分な場合があります。
余弦定理は鈍角三角形にも使えますか？
はい。鈍角三角形では 90° を超える角の余弦が負になります。c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C) はそのまま成り立ち、負の余弦によって c² は a² + b² より大きくなり、辺 c が鈍角の対辺で最長になることを正しく表します。
3 辺から三角形のすべての角を求めるには？
辺の対応を変えて余弦定理を 3 回使います。まず C = arccos((a²+b²−c²)/(2ab))、次に B = arccos((a²+c²−b²)/(2ac))、最後に A = 180° − B − C を求めます。あるいは、2 つの角が分かれば、残り 1 つは内角和で求まります。
入力が有効な三角形を作らない場合は？
SSS では三角形の不等式が成り立つ必要があります。つまり、各辺は他の 2 辺の和より小さくなければなりません。これに反すると有効な三角形は存在せず、式は |cos(C)| > 1 を返しますが、これは実数の逆余弦を持ちません。この計算機はその場合を検出してエラーメッセージを表示します。
余弦定理と cosine rule は同じですか？
はい、余弦定理と cosine rule は同じ定理を指します。“cosine rule” は英国の教育現場でよく使われ、“law of cosines” は米国の教科書でよく使われます。式も応用もまったく同じです。