和と差の三角恒等式計算機
角の加法・減法公式を使って、正確な三角関数値を計算します。
三角関数と演算を選び、2 つの角を入力すると、使用した公式とともに正確な結果を得られます。
和と差の三角恒等式計算機
角の加法・減法公式を使って、正確な三角関数値を計算します。
和と差の三角恒等式について
和と差の恒等式は、角の加法・減法公式とも呼ばれ、2 つの角の和または差の三角関数を、それぞれの角の三角関数で表す一連の三角方程式です。75° や 15° のような角を、三角関数値をすでに知っている角（30°、45°、60° など）に分解することで、計算機なしでも sin、cos、tan を正確に求められます。
6 つの基本公式は、sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)、sin(A − B) = sin(A)cos(B) − cos(A)sin(B)、cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B)、cos(A − B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)、tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 − tan(A)tan(B))、tan(A − B) = (tan(A) − tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B)) です。これらの恒等式は近似を含まない厳密なもので、単位円や幾何学的な議論によって証明できます。
この計算機は度数法とラジアンの両方に対応しています。度数法では 30、45、90 のような値を入力します。ラジアンでは、π/6 を 0.5236 とするような小数近似、または正確な小数値を入力できます。単位の選択は重要です。同じ数値でも、それが度を表すかラジアンを表すかによって、三角関数の計算結果が変わるためです。
物理学では、これらの恒等式は波の重ね合わせを解析するうえで不可欠です。同じ周波数で位相が異なる 2 つの波が合成されるとき、合成波の振幅は和と差の公式から直接決まります。電気工学では、交流回路における電圧と電流の位相関係が同じ数学によって支配されます。コンピュータグラフィックスでは、2D や 3D 空間で点やベクトルを回転させるために使われ、回転行列は回転角の余弦と正弦だけで構成されます。
数学では、和と差の恒等式は多くの他の三角関係を導く入口です。倍角公式、半角公式、積和公式はいずれも、この 6 つの恒等式から直接導かれます。これらを習得することは、微積分、フーリエ解析、信号処理、そして周期関数に依存するあらゆる分野の基礎になります。
和と差の三角恒等式の例
一般的な角に恒等式を適用する方法を実例で示します。
| 入力 | 結果 | 注記 |
|---|---|---|
| sin(45° + 30°) | sin(75°) ≈ 0.9659 | sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4。 |
| cos(60° − 45°) | cos(15°) ≈ 0.9659 | cos(60°)cos(45°) + sin(60°)sin(45°) = (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = (√2+√6)/4。 |
| ラジアンで tan(π/6 + π/4) | tan(5π/12) ≈ 3.7321 | (tan(π/6)+tan(π/4))/(1−tan(π/6)tan(π/4)) = (1/√3+1)/(1−1/√3) と簡約できます。 |
| sin(120° − (−30°)) | sin(150°) = 0.5 | 負の角 B：sin(150°) = sin(90°+60°) = 0.5。負の角を正しく扱えることを示しています。 |
和と差の三角恒等式計算機の使い方
- 最初のドロップダウンから三角関数（正弦、余弦、正接）を選びます。
- 2 番目のドロップダウンから演算：和 (A + B) または差 (A − B) を選びます。
- 角 A と角 B をそれぞれの欄に入力します。
- 入力に合わせて角の単位（度またはラジアン）を選びます。
- 「計算」をクリックすると、数値結果と適用された具体的な恒等式の公式が表示されます。
和と差の三角恒等式 FAQ
和と差の恒等式は何に使いますか？
30°、45°、60° などの標準角を組み合わせてできる角の正確な三角関数値を求めるために使います。また、多くの他の三角恒等式の基盤にもなります。応用分野では、物理の波動解析、工学の交流回路における位相計算、コンピュータグラフィックスの回転に使われます。
度とラジアンはいつ使い分ければよいですか？
日常的な幾何やナビゲーションの問題、角度表や分度器を使う場合は度を使います。微積分、物理、工学では、公式における角の自然な単位であるラジアンを使います。計算機は選択した単位を使用します。角 A と角 B が同じ単位であることを確認してください。
これらの公式で、正接は正弦や余弦と何が違いますか？
正接の和差公式には分母 (1 ∓ tan(A)tan(B)) があり、これが 0 になる場合があります。そのような角の組み合わせでは正接は未定義です。計算機はこれを検出してエラーを表示します。正弦と余弦の和差公式にはその制限がなく、すべての実数角で使えます。
これらの恒等式で sin(75°) を求めるには？
75° = 45° + 30° と書き、sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) を適用します。代入すると、sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4 ≈ 0.9659 です。計算機で Function=sin、Operation=Sum、A=45、B=30 と入力して確認できます。
これらの恒等式は負の角にも使えますか？
はい。恒等式は正負を問わずすべての実数角で成り立ちます。たとえば B が負の場合、sin(A − B) は sin(A + |B|) と同じです。計算機は角度欄の負の値を受け付け、公式を正しく適用します。
結果は厳密値ですか、それとも近似値ですか？
数値結果は約 15 桁の有効数字で計算された浮動小数点近似です。公式そのものは厳密な数学的恒等式で、たとえば sin(75°) = (√6+√2)/4 は正確に成り立ちますが、計算機は実用のために十進数の等価値を表示します。