テンソル積計算機

テンソル積は、ベクトルの文脈では外積とも呼ばれ、2つのベクトルから行列を作る線形代数の基本演算です。m 個の成分をもつベクトル u と n 個の成分をもつベクトル v があるとき、そのテンソル積 u ⊗ v は m × n 行列になり、i 行 j 列の要素は uᵢ と vⱼ の積になります。これは、2つのベクトルを1つのスカラーに縮約する内積とは対照的であり、3次元ベクトルにのみ適用され別のベクトルを返す外積とも異なります。 数学的には、u = [u₁, u₂, …, uₘ]、v = [v₁, v₂, …, vₙ] なら、任意の有効な (i, j) について (u ⊗ v)ᵢⱼ = uᵢvⱼ です。計算量は O(mn) なので、比較的大きめのベクトルでも効率的です。テンソル積は双線形であり、どちらか一方のベクトルを同じ倍率で拡大すると結果も同じ倍率で拡大し、ベクトルの加法に対して分配的です。 テンソル積は可換ではありません。u ⊗ v と v ⊗ u は通常異なる行列で、前者は m × n、後者は n × m になります（m = n で特別な関係がある場合を除く）。第1ベクトルが行を、第2ベクトルが列を決めるためです。この非対称性は、物理や機械学習で順序に物理的・意味的な重要性があるときに特に重要です。 量子力学では、テンソル積は複合系を表すうえで不可欠です。2つの量子系を結合すると、複合系の状態空間は各状態空間のテンソル積になります。たとえば、2量子ビット系の状態空間は4次元で、これは2次元の量子ビット空間2つのテンソル積です。量子もつれは、複合状態が個々の状態の単純なテンソル積として書けないときに現れます。 機械学習やデータサイエンスでは、テンソル積（およびその高次の一般化であるテンソル）が、Transformer の注意機構、推薦システムの特徴交差、画像処理の分離畳み込みを支えています。たとえばガウスぼかしカーネルは、1次元の水平ガウスフィルタと1次元の垂直ガウスフィルタのテンソル積として表せ、効率的な分離計算を可能にします。 信号処理では、多次元フィルタを1次元フィルタのテンソル積として表すことで、大きな計算削減が可能になります。この計算機が出力する平坦化ベクトルは、全結合ニューラルネットワーク層のように、後続処理で1次元入力を期待する場面で特に便利です。