多項式の乗算計算機 - 代数ツール
係数をカンマ区切りで入力すると、任意の2つの多項式を掛け合わせて、展開済みの積をすぐに求められます。
多項式の乗算計算機
定数項から順に、カンマ区切りで係数を入力してください。たとえば '1, 2, 3' は 1 + 2x + 3x² を表します。
定数項から順にカンマ区切りで係数を入力してください。例: '1, 2, 3' = 1 + 2x + 3x²
定数項から順にカンマ区切りで係数を入力してください。例: '1, 2, 3' = 1 + 2x + 3x²
多項式の乗算計算機について
多項式とは、1つ以上の項からなる代数式で、各項は係数と変数の非負整数乗の積で表されます。たとえば 3x² + 2x + 1 は、係数が 3、2、1 の2次多項式です。2つの多項式を掛ける操作は、代数学、微積分、そして多くの応用分野の基礎となる演算です。
多項式の乗算では、最初の多項式の各項を2つ目の多項式の各項に分配し、その後で同類項をまとめます。1つ目の多項式に m 項、2つ目に n 項あるなら、乗算によって m×n 個の中間積が生まれます。同じ x の指数を持つ項をまとめると、結果の多項式の次数は入力2つの次数の和になります。
この計算機は係数リスト表現を使います。定数項から始めて、べきの昇順で係数を入力します。'1, 2, 3' は 1 + 2x + 3x² を表し、係数 1 は x⁰、2 は x¹、3 は x² に対応します。計算は離散畳み込みアルゴリズムで行われ、出力係数は、添字の和がその出力位置になる入力係数の積の総和です。
2項式に対する FOIL 法は、多項式乗算の特殊ケースです。両方の多項式がちょうど2項（m = n = 2）で、4つの中間積が生じます。3項式以上でも、同じ分配法則をそのまま適用するだけで、項が増えるだけです。たとえば (1 + x + x²) と (1 + x) を掛けると、1 + 2x + 2x² + x³ という3次多項式になります。
多項式乗算の実用例は幅広いです。信号処理では、係数がフィルタ係数や信号サンプルを表す多項式の乗算は畳み込みそのもので、デジタルフィルタの中心的な演算です。数式処理システムでは、記号式の展開、CAD、記号微分に使われます。組合せ論では、生成関数は組合せ対象の個数を表す多項式であり、それらを掛け合わせることで対象を組み合わせます。この計算機とそのアルゴリズムを理解すると、代数学、離散数学、数値計算の学習基盤が築けます。
多項式乗算の例
各例では、係数入力、復元した多項式、その積を示します。
| 入力係数 | 積 | 注記 |
|---|---|---|
| P₁: 1, 2 | P₂: 3, 4 | 3 + 10x + 8x² | (1+2x)(3+4x): 1 と 2x を分配 |
| P₁: 1, 0, 1 | P₂: 1, 1 | 1 + x + x² + x³ | (1+x²)(1+x): 2次 × 1次 |
| P₁: 1, 1 | P₂: 1, −1 | 1 − x² | 平方差の形 |
| P₁: 1, 2, 1 | P₂: 1, 1 | 1 + 3x + 3x² + x³ | 3項式×2項式 |
使い方
- 「1つ目の多項式」に、定数項から順にカンマ区切りで係数を入力します（例: '2, 3' は 2 + 3x）。
- 同じ形式で「2つ目の多項式」にも係数を入力します。
- 「積を計算」をクリックして、展開された積の多項式を表示します。
- 結果は標準的な多項式表記で読みます。係数は定数項から最高次まで並びます。
- 「リセット」をクリックすると、両方の欄が消去され、新しい乗算を始められます。
よくある質問
係数はどの順番で入力しますか？
係数はべきの昇順、つまり定数項（0乗）から入力してください。多項式 3 + 2x + x² なら '3, 2, 1' です。定数項が0の多項式 x² + 4x なら '0, 4, 1' と入力します。
積の多項式の次数はどうなりますか？
積の次数は、2つの入力多項式の次数の和になります。2次多項式と3次多項式を掛けると、積は5次多項式です。したがって、積の係数リストは degree-of-P1 + degree-of-P2 + 1 個の要素を持ちます。
多項式乗算と FOIL の関係は？
FOIL は、多項式乗算の特殊ケースで、両方が2項式（1次、2項）である場合です。FOIL では4つの積が生じます。一般の多項式乗算では m×n 個の積が生じ、同じ分配法則をより多くの項に拡張します。
負の係数も入力できますか？
はい。'1, -3, 2' のようにマイナス記号付きで入力してください。これは 1 − 3x + 2x² を表します。数字はカンマまたはスペースで区切れます。計算機は負号を正しく処理します。
畳み込みアルゴリズムは何をしていますか？
多項式の乗算は、数学的には離散畳み込みと同じです。積の位置 k の係数は、i + j = k を満たすすべての係数対 (c₁[i], c₂[j]) の和です。これはデジタル信号処理でフィルタ応答を組み合わせるときの同じ操作です。