傾き計算機：2点または式から求める

直線の傾きは、その向きと急さを表す数値です。直線上の任意の2点における縦の変化量（rise）と横の変化量（run）の比として定義されます：m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)。直線はどこでも傾きが同じなので、どの2点を選んでも比は常に同じです。 正の傾きは、左から右へ向かって直線が上がることを意味します。x が増えると y も増えます。負の傾きは、左から右へ向かって直線が下がることを意味します。x が増えると y は減ります。傾きが 0 なら直線は完全に水平で、上昇はありません。未定義の傾きは直線が完全に垂直であることを意味し、分母 (x₂ − x₁) が 0 になり、0 で割ることは数学的に未定義です。垂直線は無限に急なので、傾きの値は1つに定まりません。 傾きの大きさは急さを表します。傾き 0.1 はほぼ平らで、傾き 1 は x 軸と 45° の角度をなし、傾き 10 は非常に急です。直線の傾き角 θ（正の x 軸から測る）は、m = tan(θ)、つまり θ = arctan(m) と関係しています。この計算機は、傾きとともに角度を度とラジアンの両方で計算します。 傾きは、傾き切片形 y = mx + b からも読み取れます。ここで m は傾き、b は y 切片（x = 0 のときの y の値）です。この計算機の式モードは、この形式の式を直接解析します。たとえば、式 y = −2.5x + 7 の傾きは m = −2.5 で、右へ 1 単位進むごとに 2.5 単位下がることを意味します。 2点が与えられた場合、この計算機は距離公式 d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) を使って2点間のユークリッド距離も計算します。これは座標平面におけるピタゴラスの定理の直接的な応用です。また、b = y₁ − m·x₁ を求めることで、傾き切片形 y = mx + b の完全な直線の式も導きます。 2直線が平行であるのは、傾きが等しい場合に限ります。2直線が垂直であるのは、傾きが負の逆数である場合に限ります。つまり、一方の傾きが m なら、もう一方の傾きは −1/m です（どちらも垂直線でも水平線でもない場合）。たとえば、傾きが 2 と −0.5 の直線は互いに垂直です。この関係は、幾何の証明、工学設計、コンピュータグラフィックスで重要です。 実際の場面でも傾きは頻繁に現れます。土木工学では、道路勾配（百分率表示）は傾きに 100 を掛けたものです。5% の勾配は、水平距離 100 メートルごとに 5 メートル上がることを意味します。物理では、変位-時間グラフの傾きは速度、速度-時間グラフの傾きは加速度を表します。経済学では、供給曲線や需要曲線の傾きは、価格に対して数量がどれだけ変化するかを示します。データ分析では、線形回帰直線の傾きがデータの傾向を要約します。