正弦定理計算機 - 三角形を解く（AAS、ASA、SSA）
正弦定理を使って、任意の三角形の未知の辺と角を求めます。AAS、ASA、SSA に対応し、曖昧な場合も含みます。
既知の値に合う配置を選び、下に入力すると、すべての辺・角・三角形の属性をすぐに取得できます。
正弦定理計算機 - 三角形を解く（AAS、ASA、SSA）
正弦定理を使って、任意の三角形の未知の辺と角を求めます。AAS、ASA、SSA に対応し、曖昧な場合も含みます。
正弦定理の例
AAS、ASA、そして 2 つの SSA のケースを含む 4 つの例です。
| 配置と与えられた値 | 不足している値 | 注記 |
|---|---|---|
| AAS: A=45°, B=60°, a=10 | C=75°, b≈12.25, c≈13.66 | C = 180−105 = 75°。b = 10⋅sin(60°)/sin(45°) ≈ 12.25。c = 10⋅sin(75°)/sin(45°) ≈ 13.66。 |
| ASA: A=30°, c=12, B=50° | C=100°, a≈6.09, b≈9.33 | C = 180−80 = 100°。a = 12⋅sin(30°)/sin(100°) ≈ 6.09。b = 12⋅sin(50°)/sin(100°) ≈ 9.33。 |
| SSA: a=15, b=10, A=60° | 1 つの解: B≈35.26° | sin(B) = 10⋅sin(60°)/15 ≈ 0.5774。B < 180−A を満たす解だけが有効です。 |
| SSA: a=8, b=10, A=40° | 2 つの解: B≈52.47° または B≈127.53° | 曖昧な場合: sin(B) = 10⋅sin(40°)/8 ≈ 0.8035。どちらの arcsin 値でも有効な三角形になります。 |
正弦定理計算機について
正弦定理は、三角形を解くための 2 つの基本定理の 1 つです（もう 1 つは余弦定理）。辺を a、b、c、対角を A、B、C とする任意の三角形に対して、a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) が成り立ちます。この共通比は三角形の外接円の直径に等しく、美しい幾何学的性質です。
少なくとも 1 組の辺とその対角が分かっており、さらに三角形を一意に（または曖昧に）決める追加情報がある場合に正弦定理を使えます。この計算機は 3 つの配置に対応しています。
AAS（角-角-辺）：2 つの角と、それらの間にない辺が分かっている場合です。三角形の内角の和は 180° なので、3 つ目の角は C = 180° − A − B とすぐに求まります。その後、b = a⋅sin(B)/sin(A)、c = a⋅sin(C)/sin(A) で残りの 2 辺を求めます。解は常に一意です。
ASA（角-辺-角）：2 つの角と、その間の辺が分かっている場合です。考え方は AAS と同じで、まず 3 つ目の角を求め、その後に正弦定理で他の 2 辺を求めます。こちらも解は一意です。
SSA（辺-辺-角）：2 つの辺と、それらの間にない角が分かっている場合です。これが「曖昧な場合」です。値によっては、解が 0 個、1 個、または 2 個になることがあります。計算機はすべてのケースを検出します。与えられた角が鈍角で、その対辺が隣辺より長ければ解は 1 つだけです。与えられた角が鋭角で、その対辺が隣辺より短いが、底辺に届くだけの長さがあれば、2 つの解がありえます。解が 2 つある場合は両方を表示します。
正弦定理は、航法、測量、工学で広く使われます。測位では、既知の基準点で測った角度から位置を求める三角測量に繰り返し使われます。航法では、航路間の方位と距離の計算に三角法が使われます。構造解析では、角度と 1 つの既知辺で形状が決まる場合、トラス部材にかかる力を正弦定理で求めます。
この計算機は 3 つの配置を自動処理し、SSA の曖昧な場合も透明に扱い、すべての三角形属性、つまり 3 辺、3 角、そして三角形の種類を出力します。
正弦定理計算機の使い方
- 既知の値に合う配置を選びます。AAS（2 つの角と 1 つの対辺でない辺）、ASA（2 つの角とその間の辺）、SSA（2 辺と 1 つの対角）です。
- 対応する欄に既知の値を入力します。角度は度です。
- 計算をクリックします。計算機が正弦定理を使って未知の辺と角を求めます。
- SSA では、1 つの解か 2 つの解かを確認してください。曖昧な場合は自動的に処理されます。
- リセットをクリックすると、すべての欄が消去され、新しい三角形を解けます。
よくある質問
正弦定理とは何ですか？
正弦定理は、任意の三角形で、辺の長さをその対角の正弦で割った比が一定であることを示します。a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) です。この共通比は外接円の直径に等しく、少なくとも 1 組の辺と対角が分かっている三角形を解くのに使います。
SSA の曖昧な場合とは何ですか？
SSA（2 辺と 1 つの対角）は、0 個、1 個、2 個の有効な三角形を生むことがあるため曖昧と呼ばれます。角が鋭角で、対辺が三角形の高さと隣辺の間にあると、異なる構成の三角形が 2 つ現れることがあります。計算機は両方の解を自動で判定します。
正弦定理と余弦定理はいつ使い分けますか？
AAS、ASA、SSA では正弦定理を使います。SAS（2 辺とその間の角）と SSS（3 辺既知）では余弦定理を使います。余弦定理は二次方程式を解くことで SSA の曖昧さを避けられますが、正弦定理は比が簡単な代わりに 2 通りの arcsin 値を扱う必要があります。
この計算機では角度をどう入力しますか？
角度はすべて度で入力してください。計算の際は内部でラジアンに変換されます。AAS と ASA では、入力した 2 つの角の和が 180° 未満であることを確認してください。そうしないと 3 つ目の角が正になりません。SSA でも、入力する角は 0 〜 180 度の間でなければなりません。
「三角形の種類」とは何ですか？
計算機は角と辺で三角形を分類します。角による分類は、鋭角三角形（すべての角 < 90°）、直角三角形（1 つの角 = 90°）、鈍角三角形（1 つの角 > 90°）です。辺による分類は、正三角形（3 辺が等しい）、二等辺三角形（2 辺が等しい）、不等辺三角形（等しい辺がない）です。有効な解があると結果欄に表示されます。
正弦定理は直角三角形にも使えますか？
はい。C が直角の三角形では、sin(C) = sin(90°) = 1 なので、正弦定理は a/sin(A) = b/sin(B) = c に簡略化されます。これは、sin(A) = a/c や sin(B) = b/c といった基本的な直角三角形の公式と一致します。正弦定理は直角三角形を含むすべての三角形に使えます。